鏡面反射 (數學)

當通過從鏡面反射其全部部分而不改變形狀時,相對於平面的對稱性

設α為n維歐氏空間V上的單位向量,稱線性變換Sα=ξ-2(ξ,α)α(∀ξ∈V)為n維歐氏空間V的一個鏡面反射

基本性質

  1. 鏡面反射是正交變換
  2. 鏡面反射的逆變換為鏡面反射。
  3. 任意一個正交變換都可以表示成若干個鏡面反射的乘積。

主要定理

  1. 設S為n維歐氏空間V上的正交變換。則S為鏡面反射的充要條件:S以1為特徵值,且S 屬於1的特徵子空間V1為n-1維
    • 此定理說明n維歐氏空間V上的鏡面反射Sα是向量對以α為法向量的n-1維子空間的反射。
  2. 矩陣A=En-2uu′,其中u為n 維列向量,且uu=1。
    1. Sα為n維歐氏空間V的鏡面反射,則SαV的任一標準正交基礎下的矩陣為A;
    2. n維歐氏空間V的正交變換S在V的某一標準正交基下的矩陣為A,則S為V的鏡面反射。
    3. 設σ為n維歐氏空間V的任一正交變換,則σ可表成一些鏡面反射的乘積。

資料來源

  1. 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.
  2. 張禾瑞、郝炳新.高等代數(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1997.1998