阿諾索夫微分同胚

在數學中，尤其是動力系統與幾何拓撲中，流形M上的阿諾索夫映射（Anosov map）是M到自身的一種映射。阿諾索夫系統是A公理系統的特例。

阿諾索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·維克托羅維奇·阿諾索夫引入，他證明了這種微分同胚的行為在某種意義上是普遍的。

概述

有三個相互聯繫但又有區別的定義：

若M上的可微映射f在切叢上有雙曲結構，則稱f是一個阿諾索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿諾爾德貓映射。
若這個映射還是一個微分同胚，則稱為阿諾索夫微分同胚。
若流形上的一個流把切叢分成三個不變子叢，其中一個子叢呈指數衰減，一個指數增大，第三個不增大也不減小，則這個流稱為阿諾索夫流。

阿諾索夫證明了阿諾索夫微分同胚是結構穩定的，並且組成了全體映射（流）的開子集（ ${\mathcal {C}}^{1}$ 拓撲）。

並非每個流形上都可以有阿諾索夫微分同胚；例如，球面上就沒有這樣的微分同胚。容許有阿諾索夫微分同胚的最簡單的緊流形是環面：上面有所謂的線性阿諾索夫微分同胚，這是沒有模1特徵值的同構。可以證明環面上其他的阿諾索夫微分同胚都與這種同胚拓撲共軛。

對容許有阿諾索夫微分同胚的流形進行分類是非常困難的問題，截至2012年仍然沒有解決。

另外，也不清楚是否每個 ${\mathcal {C}}^{1}$ 且保持體積的阿諾索夫微分同胚都是遍歷的。阿諾索夫證明了把 ${\mathcal {C}}^{1}$ 換成 ${\mathcal {C}}^{2}$ 的條件下是成立的。

黎曼曲面（的切叢）上的阿諾索夫流

負曲率黎曼曲面的切叢上的阿諾索夫流。這個流可以理解為雙曲幾何的龐加萊半平面模型的切叢上的流。負曲率黎曼曲面可以用福克斯模型來定義，即上半平面與福克斯群的商。設 $\mathbb {H}$ 為上半平面， $\Gamma$ 為福克斯群， $M=\mathbb {H} /\Gamma$ 為負曲率黎曼曲面， $T^{1}M$ 為流形M上的單位向量的切叢， $T^{1}\mathbb {H}$ 是 $\mathbb {H}$ 的單位向量的切叢。注意曲面上單位向量的叢是復直線叢的主叢。

李向量場

注意 $T^{1}\mathbb {H}$ 同構於李群 ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 。這個群是上半平面的保向等距同構組成的群。 ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 的李代數是 ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ，由以下矩陣表示

$J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

$[J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J$

指數映射

$g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}$

定義了流形 $T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 上的右不變流，而 $T^{1}M$ 與此類似。定義 $P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M$ ，這些流定義了P和Q上的向量場。

阿諾索夫流

$g_{t}$ 是P和Q上的測地流。根據定義李向量場在群元素的作用下是左不變的，可以得到這些場在 $g_{t}$ 下是左不變的。換句話說，空間 $TP$ 和 $TQ$ 分成了三個一維空間，或子叢，每一個都在測地流作用下不變。最後注意到其中一個子叢的向量場呈指數擴大，另一個不變，第三個呈指數縮小。

精確地說，切叢 $TQ$ 可以寫成直和

$TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}$

這些空間在測地流的作用下不變；即，在群元素 $g=g_{t}$ 的作用下不變。

要比較不同點q處 $T_{q}Q$ 的向量的長度，需要有度量。 $T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ 上的任何內積都可擴張成P上的左不變黎曼度量，進而得到Q上的黎曼度量。向量 $v\in E_{q}^{+}$ 的長度在 $g_{t}$ 的作用下指數增大。向量 $v\in E_{q}^{-}$ 的長度在 $g_{t}$ 的作用下指數衰減。 $E_{q}^{0}$ 中的向量不變。測地流是不變的

$g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}$

但另外兩個分別是衰減和增大的：

$g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}$

$g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}$

其中 $E_{q}^{+}$ 中的切向量由曲線 $h_{t}$ 在 $t=0$ 處的導數給出。

阿諾索夫流的幾何解釋

當作用在上半平面的點 $z=i$ 時， $g_{t}$ 對應了上半平面的一條過點 $z=i$ 的測地線。這個作用就是 ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ 在上半平面的標準莫比烏斯變換，所以

$g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}$

一般的測地線

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}$

式中 $a,b,c,d$ 是實數，且 $ad-bc=1$ 。曲線 $h_{t}^{*}$ 與 $h_{t}$ 稱為極限圓。極限圓對應於極限球面的法向量在上半平面的運動。

另見

參考資料

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
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Toshikazu Sunada(砂田利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.