隆起函數

數學中,一個歐幾里得空間上的隆起函數是一個僅在某「一小塊區域」上取值不為零的光滑函數。它在絕大部分區域取值都是0,僅僅在某個緊區域上有非零值。所有的隆起函數的構成一個函數空間,記作。在適當拓撲結構中,它的對偶空間是分佈空間(見分佈理論)。

一個二維的隆起函數

特點及應用

根據唯一性定理,雖然隆起函數都是光滑的,但除非它們在D上取值一致為0,否之它們都不是解析函數。隆起函數經常被用作柔化函數,光滑隔斷函數(smooth cutoff function),以及用於1的分割英語partition of unity(partition of unity)。在數學分析中,隆起函數是最常見的檢驗函數。檢驗函數空間在很多算子下是閉合的;任意兩個隆起函數的和,積,以及卷積都是隆起函數。若一個微分算子的係數是光滑的,那麼兩個隆起函數在這個微分算子下的計算結果也是隆起函數。

參考