在數學分析 中，隱函數定理 （英語：Implicit function theorem ）是一個用來回答下面的問題的工具：
以隐函数 表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？
隱函數定理說明，對於一個由關係
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
微分 滿足某些條件，則在該點有鄰域 使得在該鄰域內 y x
y
=
h
(
x
)
{\displaystyle y=h(x)}
這樣就把隱函數關係變成了常見的函數 關係。
舉一個簡單例子：假設兩個變量 x , y x 2 + y 2 − 1 = 0鄰域 跟定義在鄰域裏的顯函數 y =h (x )
答案是：除了(-1,0) (1,0 ) y =h (x )
讓函數
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
f
(
x
,
y
)
−
1
=
0
{\displaystyle f(x,y)-1=0}
y 可以表示成 x 的函數：
y
(
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
x 會對應到兩個 y 的值）。 有函數
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
f
(
x
,
y
)
−
1
=
0
{\displaystyle f(x,y)-1=0}
單位圓 。圓上的點整體上是無法表示成單變數函數
y
=
h
(
x
)
{\displaystyle y=h(x)}
x
∈
(
−
1
,
1
)
,
{\displaystyle x\in (-1,1),}
y
{\displaystyle y}
±
1
−
x
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
然而在某些點附近，局部 地用
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
y
>
0
{\displaystyle y>0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
1
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}
y
<
0
{\displaystyle y<0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
−
1
−
x
2
{\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
但是，在點
(
±
1
,
0
)
{\displaystyle (\pm 1,0)}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
設 f : R n+m R m 連續可微 函數。這裏R n+m 直積 ： R n R m R n+m (x ,y ) = (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) h : R n R m (x , h (x )) (x , y ) | f (x ,y ) = 0 h
固定一點(a ,b ) = (a1 , ..., an , b1 , ..., bm ) f (a , b ) = 0 (a ,b ) y x h a U ⊆ R n b 鄰域 V ⊆ R m h : U → V h (x , h (x )) U × V f (x ,y ) = 0
{
(
x
,
h
(
x
)
)
∣
x
∈
U
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
U
×
V
∣
f
(
x
,
y
)
=
0
}
{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}
要保證這樣的函數 h f 雅可比矩陣 要滿足某些性質。對於給定的一點 (a ,b ) f 雅可比矩陣 寫作：
(
D
f
)
(
a
,
b
)
=
[
∂
f
1
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
x
n
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
m
∂
x
n
(
a
,
b
)
|
∂
f
1
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
y
m
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
m
∂
y
m
(
a
,
b
)
]
=
[
X
|
Y
]
{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}
其中的矩陣
X
{\displaystyle X}
f x
Y
{\displaystyle Y}
f y
Y
{\displaystyle Y}
可逆 矩陣的話，那麼滿足前面性質的鄰域 U V h (x )
設
f : R n+m → R m 為
連續可微 函數，讓
R n+m 中的坐標記為
(x , y ) ,
(x , y ) = (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) 。給定一點
(a1 , ..., an , b1 , ..., bm ) = (a ,b ) 使得
f (a ,b )=0 （
0 ∈ R m ，是個零向量）。如果
m ×m 矩陣
[(∂fi / ∂yj )(a , b ) 是可逆矩陣的話（此矩陣即上面的矩陣
Y
{\displaystyle Y}
），那麼存在
a 的鄰域
U ⊆ R n 、
b 的鄰域
V ⊆ R m 以及唯一的連續可微函數
h :U → V ，使得
h
(
a
)
=
b
{\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }
且
f
(
x
,
h
(
x
)
)
=
0
,
{\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,}
x
∈
U
{\displaystyle \mathbf {x} \in U}
設
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
F
{\displaystyle F}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
開集 。設函數：
f
:
U
×
V
→
F
{\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}
是一個
k
(
k
≥
1
)
{\displaystyle k~(k\geq 1)}
可微函數 （見Fréchet導數
E
1
×
E
2
{\displaystyle E_{1}\times E_{2}}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
f
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
映射
y
↦
(
D
f
(
x
0
,
y
0
)
)
(
0
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
F
{\displaystyle F}
那麼有如下結論：
存在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
鄰域
U
0
⊂
U
{\displaystyle U_{0}\subset U}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
鄰域
V
0
⊂
V
{\displaystyle V_{0}\subset V}
k
{\displaystyle k}
φ
:
U
0
→
V
0
{\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}
對任意
(
x
,
y
)
∈
U
0
×
V
0
{\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)}
Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522 Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117 
![{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcfcdca6f88f8a6d7d0264d4bfab73bd2ff795f)
