雙曲線扇形是指在一個笛卡兒坐標平面 ( x , y ) {\displaystyle {(x,y)}} 之上,雙曲線 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 與從原點 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 出發的兩條射線相交處的兩點 ( a , 1 / a ) {\displaystyle (a,1/a)} 和 ( b , 1 / b ) {\displaystyle (b,1/b)} 之間的面積。
一個標準位置的雙曲線扇形有 a = 1 {\displaystyle a=1} 及 b > 1 {\displaystyle b>1} 。
處於標準位置的雙曲線扇形的面積是 ln b {\displaystyle \ln b} 。
證明:
黃色部分的面積相等於三角形 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) {\displaystyle {(0,0),(1,0),(1,1)}} 的面積加上雙曲線底下從 1 {\displaystyle 1} 到 b {\displaystyle b} 的面積,再減去白色三角形 ( 0 , 0 ) , ( b , 0 ) , ( b , 1 / b ) {\displaystyle {(0,0),(b,0),(b,1/b)}} 的面積。所以,黃色部分的面積為:
處於標準位置的雙曲線扇形與正值的雙曲角相對應。