高德納箭號表示法

高德納箭號表示法（英語：Knuth's up-arrow notation）是種用來表示很大的整數的方法，由高德納於1976年設計。它的概念來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法。

簡介

乘法是重複的加法：$a\times b=a+a+\cdots +a$ （有$b$個$a$）

冪是重複的乘法：$a^{b}=a\uparrow b=a\times a\times \cdots \times a$（有$b$個$a$）

於是高德納定義「雙箭號」運算符，作重複的冪運算，或稱迭代冪次： $a\uparrow \uparrow b={\begin{matrix}\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} \\b\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \\b\end{matrix}}={^{b}a}$（中文讀法為「b個a重冪」）

計算時是由右至左計的。

$3\uparrow \uparrow 2={^{2}3}=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow \uparrow 4={^{4}3}=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}$

$3\uparrow \uparrow 5={^{5}3}=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

多於兩個箭號時，

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!$

$3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3={^{^{3}3}3}={^{7625597484987}3}={\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\7625597484987\end{matrix}}$

使用指數來解釋高德納箭號表示法

$a\uparrow \uparrow b$代表重複的冪，或迭代冪次，例如： $a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}$

當b為變量或過大時，重複的冪可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}$

指數不只能解釋兩個箭號的運算，三個箭號也行。

$a\uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)]=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}$

再次的，當b為變量或過大時，三個箭號的運算可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b$

四個箭號可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)=\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)]=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

再次的一般化：

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}$

這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數，但是會變得相當麻煩。

一般化

若要用多個箭號時，可用↑ⁿ表示，但有些數還是大得連這種表示法也不夠用，例如葛立恆數。

這時可能用hyper運算符或康威鏈式箭號表示法方便一點。

${\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}$

定義

對於整數$a$、非負整數$b$和正整數$n$：

$a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}1,\\a^{b},\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),\end{matrix}}\right.$	若$b=0$；
	若$n=1$；
	其他。

這個表示法符合向右結合律。

參考

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
• 埃里克·韋斯坦因. Arrow Notation. MathWorld. 
• Robert Munafo, Large Numbers （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）