三尖瓣线
三尖瓣线(tricuspoid)也称为施泰纳曲线(Steiner curve),是有三个尖点的圆内螺线,是一个圆绕着直径为其三倍的圆内侧无滑动滚动时,圆上一点产生的一般旋轮线
三尖瓣线也可以指有三个顶点,之间用向内弯曲的曲线相连的封闭空间,因此三尖瓣线内的空间是非凸集合[1]。
方程式
三尖瓣线可以用以下的参数方程表示:
其中a是小圆的半径,b是大圆(也就是小圆在其内侧无滑动滚动)的半径(此处b = 3a)。
在复变座标下可得
- .
上述的t可以消去,得到以下的笛卡尔座标下的方程
曲线有三个奇点,是对应 的尖点。上述的参数式意味者曲线为有理曲线,也就表示其几何亏格为零。
三尖瓣线的对偶曲线为
在原点有一个二重点,若进行一个虚轴上的旋转y ↦ iy,曲线会变为下式,就可以看到其二重点
在实平面的原点上有二重点。
面积及周长
三尖瓣线的面积为 ,其中a为小圆的半径,其面积是小圆面积的两倍[2]。
其周长为16a[2]。
历史
早在1599年时,伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已开始研究常见的摆线,而奥勒·罗默在1674年研究齿轮的最佳外形时,也有用到摆线。李昂哈德·欧拉认为他是最早(1745年)将三尖瓣线应用在实际光学问题的人。
应用
三尖瓣线有应用在许多的数学领域中,举例如下:
- 三维unistochastic矩阵复数特征值的集合即为三尖瓣线。
- SU(3)群里所有酉矩阵的可能迹的集合会组成三尖瓣线。
- 二个三尖瓣线的交集会形成一群6阶的复数Hadamard矩阵。
- 三角形的所有西姆松线的集合,其包络线会是三尖瓣线。因为雅各布·施泰纳在1856年描述过此曲线的形状及对称性,因此此曲线称为这称为施泰纳三尖瓣线,[3]。
- 三角形面积平分线的包络线会是三尖瓣线,三个顶点是中线的中点。三尖瓣线的三边是双曲线的弧[4][1]。
- 三尖瓣线属于挂谷集中的挂谷针集合(Kakeya needle set,长度为1的针可以在其中旋转360度),有科学家认为三尖瓣线是挂谷针问题(Kakeya needle problem,面积最小小的挂谷针集合)的解,后来发现不是。
相关条目
参考资料
- ^ 1.0 1.1 存档副本. [2017-10-24]. (原始内容存档于2017-11-21).
- ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Lockwood
- ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
- E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid. A Book of Curves. Cambridge University Press. 1961.
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
- Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 52. ISBN 0-14-011813-6.
- "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- "Deltoid" at MathCurve(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Sokolov, D.D., Steiner curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4