中心矩

在概率论或者统计学中，中心矩（Central Moment，或称中央矩，其中矩亦被称作动差）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的矩。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定义

对于一维随机变量$X$，其$k$阶中心矩$\mu _{k}$为相对于$X$之期望的$k$阶矩：

$\mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx$

前几阶中心矩具有较直观的意义。

• 第0阶中心矩$\mu _{0}$恒为1。
• 第1阶中心矩$\mu _{1}$恒为0。
• 第2阶中心矩$\mu _{2}$为$X$的方差$\operatorname {Var} (X)$。
• 第3阶中心矩$\mu _{3}$用于定义$X$的偏度。
• 第4阶中心矩$\mu _{4}$用于定义$X$的峰度。

性质

• 中心矩具有平移不变性。对于任意的随机变量$X$和任意常数$c$，恒有：

$\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)$

• n阶中心矩是n次齐次函数。

$\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)$

• 只有当$n\in \{1,2,3\}$，且$X$和$Y$为两个互相独立的随机变量时，中心矩才具有加法性。

$\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)$

另一个与中心矩类似，但在$n\geq 4$时仍保有加法性的统计量为n阶累积量$\kappa _{n}$。