二侧锥三角柱

二侧锥三角柱
类别	约翰逊多面体; J49 - J50 - J51
对偶多面体	见#对偶多面体一节
识别
名称	二侧锥三角柱; Biaugmented triangular prism
别名	二侧锥三角柱
参考索引	J50
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	bautip
性质
面	11
边	17
顶点	8
欧拉特征数	F=11, E=17, V=8 （χ=2）
组成与布局
组合几何体种类	2个四角锥; 1个三角柱
结合方式	四角锥的底面与三角锥侧面贴合
面的种类	10个三角形; 1个正方形
顶点的种类	2个(35); 2个(34); 4个(33.4)
对称性
对称群	C2v群
特性
	凸
图像
; 见#对偶多面体一节; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

二侧锥三角柱（英文：Biaugmented triangular prism）属于约翰逊多面体之一（J₅₀）^[1]。形如其名地，它可由两个正四角锥（J₁）以底面黏合在一个正三角柱的两个侧面上组合而成，这与侧锥三角柱（J₄₉）和三侧锥三角柱（J₅₁）有着极为相似的构造。这92种约翰逊多面体最早在1966年由约翰逊·诺曼（英语：Norman Johnson (mathematician)）命名并予以观察描述。^[2]在化学中，部分分子呈二侧锥三角柱形状，例如N₂H₆ZrF₆。^[3]

性质

二侧锥三角柱共由11个面、17条边和8个顶点组成。^[4]在其11个面中有10个三角形面和1个正方形面。二侧锥三角柱可以视为三角柱与2个正四角锥的组合^[5]^:86，因此在二侧锥三角柱的10个三角形面又可以分成两组，一组为侧锥的侧面，每个侧锥有4个正三角形，共8个正三角形；以及三角柱的两个三角形底面。^[6]

体积与表面积

若二侧锥三角柱边长为单位长，则其体积 $V$ 与表面积 $A$ 为：^[6]

V={\frac {4{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{12}}\approx 0.904417

^[6]

A=1+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\approx 5.33013

^[7]

顶点座标

若二侧锥三角柱边长为单位长，则其顶点座标为：^[8]

\left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{6}}\right)

\left(0,\,\pm {\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)

\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{4}},\,0,\,-{\frac {3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{12}}\right)

二面角

二侧锥三角柱有5种二面角，其中分别是2种三角形-正方形交角和3种三角形-三角形交角。^[9]

其中一种三角形-正方形交角来自于三角柱底面和侧面的交棱，二面角为90度^[9]；另一种三角形-正方形交角则来自侧锥侧面的三角形与三角柱侧面的交棱，其角度约为114.73561度：

\cos ^{-1}{\left(-{\frac {3{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)}\approx 114.73561^{\circ }

^[6]

另外三个二面角分别为两侧锥侧面的交棱约169.47122度、侧锥侧面与三角柱底面的交棱约144.73561度、以及同个侧锥中两侧面的交棱约109.47122度。^[9]

两侧锥侧面棱的交角

=\cos ^{-1}{\left(-{\frac {1+2{\sqrt {6}}}{6}}\right)}\approx 169.47122^{\circ }

^[6]

侧锥侧面与三角柱底面棱的交角

=\cos ^{-1}{\left(-{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)}\approx 144.73561^{\circ }

^[6]

同个侧锥中两侧面棱的交角

=\cos ^{-1}{\left(-{\frac {1}{3}}\right)}\approx 109.47122^{\circ }

^[6]

对偶多面体

根据对偶多面体的定义，多面体的对偶多面体其面将会是原始多面体的顶点图，^[10]而二侧锥三角柱的由6个四面角（其中4个是3个三角形和1个正方形的公共角、2个是4个三角形的公共角）和2个五面角（3个三角形的公共角）组成^[11]，因此对应的对偶多面体会有6个四边形和2个五边形面，为截去2个非顶角顶点的双三角锥。

二侧锥三角柱
二侧锥三角柱的对偶多面体

参见

参考文献

^ Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented Triangular Prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
^ Deza, Antoine and Deza, Michel and Grishukhin, Viatcheslav. Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings. Discrete mathematics (Elsevier). 1998, 192 (1-3): 41–80.
^ Vladimir Bulatov. biaugmented triangular prism. [2021-09-06]. （原始内容存档于2020-11-05）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ ^5.0 ^5.1 Rajwade, A.R. Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. 2001. ISBN 9789386279064.
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 ^6.5 ^6.6 David I. McCooey. Johnson Solids : Biaugmented Triangular Prism. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-12）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Wolfram, Stephen. "Biaugmented Triangular Prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
^ David I. McCooey. Data of Biaugmented Triangular Prism. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-12）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Richard Klitzing. biaugmented triangular prism, bautip. bendwavy.org. [2021-09-12]. （原始内容存档于2021-09-21）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Biaugmented triangular prism. polyhedra.tessera.li. [2021-09-12]. （原始内容存档于2021-09-12）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

[3] Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented Triangular Prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[4] Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .

[deza1998fullerenes-5] Deza, Antoine and Deza, Michel and Grishukhin, Viatcheslav. Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings. Discrete mathematics (Elsevier). 1998, 192 (1-3): 41–80.

[6] Vladimir Bulatov. biaugmented triangular prism. [2021-09-06]. （原始内容存档于2020-11-05）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[rajwade2001convex-7] 5.0 ^5.1 Rajwade, A.R. Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. 2001. ISBN 9789386279064.

[dmccooey,BiaugmentedTriangularPrism-8] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 ^6.5 ^6.6 David I. McCooey. Johnson Solids : Biaugmented Triangular Prism. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-12）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[9] Wolfram, Stephen. "Biaugmented Triangular Prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

[dmccooey,data_BiaugmentedTriangularPrism-10] David I. McCooey. Data of Biaugmented Triangular Prism. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-12）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[bendwavy-11] 9.0 ^9.1 ^9.2 Richard Klitzing. biaugmented triangular prism, bautip. bendwavy.org. [2021-09-12]. （原始内容存档于2021-09-21）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[12] Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[13] Biaugmented triangular prism. polyhedra.tessera.li. [2021-09-12]. （原始内容存档于2021-09-12）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

侧锥方式	3	4	5	6	7	8
邻
邻	二侧锥三角柱	邻二侧锥四角柱	邻二侧锥五角柱	邻二侧锥六角柱	邻二侧锥七角柱	邻二侧锥八角柱
间	-	-
间	-	-	间二侧锥五角柱	间二侧锥六角柱	间二侧锥七角柱	间二侧锥八角柱
对	-		-		-
对	-	对二侧锥四角柱	-	对二侧锥六角柱	-	对二侧锥八角柱
1,4	-	-	-	-
1,4	-	-	-	-	1,4-二侧锥七角柱	1,4-二侧锥八角柱

二侧锥三角柱

目录

性质

体积与表面积

顶点座标

二面角

对偶多面体

相关多面体

参见

参考文献

外部链接