低维拓扑

在数学中，低维拓扑是拓扑学中研究二、三、四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形、四维流形（英语：4-manifold）、扭结和辫群等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学的一部分。

历史

自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注。1961年，斯梅尔（英语：Smale）证明了在五维以上，庞加莱猜想是成立的^[1]。对于一维二维的庞加莱猜想，人们早已熟知。于是在当时，三维四维的庞加莱猜想似乎是最难以证明的，因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情形。1980年代初，威廉·瑟斯顿（英语：Thurston）的几何化猜想^[2]，预示着低维几何和低维拓扑有紧密的关系。1980年代早期，沃恩·琼斯（英语：Vaughan Jone）发现了琼斯多项式^[3]，将纽结理论引向新的研究方向，并且琼斯多项式中含藏着低维拓扑和数学物理的联系。

二维拓扑空间

曲面是一个二维的拓扑流形。我们最熟悉的例子是欧几里得空间中三维实心体的边界，例如三维球体的边界。除此之外，也有一些曲面不能被嵌入三维欧式空间中，例如克莱因瓶。

闭曲面的分类

闭曲面的分类理论陈述如下^[4]：任意连通的闭曲面属于以下三种类别之一

球面
g个环面的连通和，这里 $g\geq 1$
k个实射影平面的连通和，这里 $k\geq 1$

前两个类别的曲面是可定向的，若把球面当成是0个环面的连通和，那么第一个类别可归入第二个类别。第二个类别中，数字g被叫做曲面的亏格。曲面的亏格和欧拉示性数有一定联系：对于g个环面的连通和，它的欧拉示性数为2 − 2g.

三维拓扑空间

定义

如果一个拓扑空间 $M$ 满足以下条件，那么 $M$ 是一个三维拓扑流形^[5]

$M$ 是第二可数空间
$M$ 是豪斯多夫空间
$M$ 上每一个点都被包含于一个开集，而且这个开集和三维欧式空间同胚

三维流形理论

在三维情况，拓扑流形、分段线性流形、光滑流形三个范畴都等价，因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类。三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别，因此有许多研究方法专门适用于三维流形，而不能被推广至更高的维度。三维流形的特殊性，导致了三维流形和许多领域有着密切的联系，例如：纽结理论、几何群论、双曲几何、数论、拓扑量子场论、规范场论、Floer同调论（英语：Floer homology）、偏微分方程。三维流形理论被划分为低维拓扑或几何拓扑学的一部分。

参考来源

^ Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR 0137124
^ Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.
^ Introduction to Jones Polynomial （页面存档备份，存于互联网档案馆）Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12]
^ Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., Conway's ZIP Proof (PDF), American Mathematical Monthly, May 1999, 106 (5) [2017-11-28], doi:10.2307/2589143, （原始内容 (PDF)存档于2010-06-12）, page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof
^ John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8.

外部链接

罗比恩·卡比的低维拓扑中的问题（页面存档备份，存于互联网档案馆） – postscript文件 (1.4 MB)
马克·布莱特汉姆的（英语：Mark Brittenham）低维拓扑的相关链接

[1] Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR 0137124

[2] Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.

[3] Introduction to Jones Polynomial （页面存档备份，存于互联网档案馆）Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12]

[conway-4] Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., Conway's ZIP Proof (PDF), American Mathematical Monthly, May 1999, 106 (5) [2017-11-28], doi:10.2307/2589143, （原始内容 (PDF)存档于2010-06-12）, page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof

[5] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8.

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