刚性方程

在数学领域中，刚性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定，只要时间间隔略大，其解就会不稳定。目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速变动的项，则其为刚性方程。

在积分微分方程时，若某一区域的解曲线（英语：Integral curve）的变化很大，会希望在这个区域的积分间隔密一些，若另一区域的曲线近似直线，且斜率接近零，会希望在这个区域的积分间隔松一些。不过针对一些问题，就算曲线近似直线，仍然需要用非常小的积分间隔来积分，这种现象称为“刚性”。有时可能会出现两个不同问题，一个有“刚性”，另一个没有，但两个问题却有同一个解的情形。因此“刚性”不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以称为是刚性系统。

范例

在求解一个刚性常微分方程时，用显式方法出现的不稳定情形

考虑下面的初值问题：

\,y'(t)=-15y(t),\quad t\geq 0,\,y(0)=1

其精确解是

y(t)=e^{-15t}

，并且显然当

t\to \infty

时

y(t)\to 0

。

会希望数值解能够具有相同的特性。

若以欧拉方法来求数值解，则使用不同的步长（step size）将会得到不同的结果。第一种，步长 $h=1/4$ 的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为 $h=1/8$ 时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡，并且不可能表示精确的解。

而梯形法，即两阶段亚丹士-莫耳吞法（英语：Linear multistep method），表达为

y_{n+1}=y_{n}+{1 \over 2}h\left(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).

其求得的结果比欧拉法的结果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

特征

刚性系统的特色是该系统所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部绝对值中，最大和最小的比值远大于1。

龙格－库塔法

将龙格－库塔法应用至测试方程 $y'=k\cdot y$ ，可以得到如 $y_{n+1}=\phi (hk)\cdot y_{n}$ 的形式，并可归纳出 $y_{n}=(\phi (hk))^{n}\cdot y_{0}$ ，其中 $\phi$ 称为稳定性函数。因此 $\lim _{n\to \infty }y_{n}=0$ 的条件等价于 $|\phi (hk)|<1$ 。这启发了绝对稳定区域（有时简称为稳定区域）的定义，亦即集合 $\{z\in \mathbb {C} |\,|\phi (z)|<1\}$ 。

若一个方法的稳定区域包含 $\{z\in \mathbb {C} |\,\mathrm {Re} (z)<0\}$ （即左半平面），则称该方法为A-稳定（英语：A-stability）。

例子: 欧拉与梯度法

粉红色的圆形区域为欧拉方法的稳定区域。

粉红色的区域为梯形法的稳定区域。

参见

参考资料

Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 .
Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

外部链接

An Introduction to Physically Based Modeling: Energy Functions and Stiffness（页面存档备份，存于互联网档案馆）