卡诺定理 (内切圆、外接圆)

设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理(法语:Théorème de Carnot),以拉扎尔·卡诺为名。

引理

 中,  之外接圆半径,且  之内切圆半径,则

 

证明

假设 为锐角三角形,  之外接圆圆心,  三边之距离分别为   ,其中   之距离,   之距离,   之距离。连接  ,在 中,根据三角形外心性质,可以得到

 
 

所以,可以得到 的表示式,

 

同理,亦可得到  的表示式,

 
 

因此,

 
 
 
 
 
 
 
 

根据引理,即可得证,

 

此外,若 为钝角三角形,且 大于 度,其余符号假设均与上面相同,则可以得到,

 
 
 

所以,

 
 
 

故得证卡诺定理。

参考资料