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卡诺定理”。
设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为
- ,
其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理(法语:Théorème de Carnot),以拉扎尔·卡诺为名。
引理
证明
假设 为锐角三角形, 为 之外接圆圆心, 至 三边之距离分别为 、 、 ,其中 为 至 之距离, 为 至 之距离, 为 至 之距离。连接 与 ,在 中,根据三角形外心性质,可以得到
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所以,可以得到 的表示式,
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同理,亦可得到 和 的表示式,
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因此,
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根据引理,即可得证,
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此外,若 为钝角三角形,且 大于 度,其余符号假设均与上面相同,则可以得到,
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所以,
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故得证卡诺定理。
参考资料