几何标准差

在几率论与统计学中，几何标准差形容一组数值有多分散，用于当这一组数字理应优先选用的平均数为几何平均数之时。对于这类数据，几何标准差可能优于普通的标准差。留意几何标准差是个乘法因数，因此是无量纲的，而不似普通的算术标准差，与输入数值有同样的量纲。

定义

若一组数字{A₁, A₂, ..., A_n}的几何平均数用μ_g表示，则几何标准差是

$\sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}\right)\qquad \qquad (1)$

推导

若几何平均数是

$\mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}$

则两边取自然对数得

$\ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})$

乘积的对数等于对数的和（假设对于所有$i$，$A_{i}$是正数），所以

$\ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}]$

现在可以看出$\ln \,\mu _{g}$是这组$\{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}$的算术平均数，因此这同一组的算术标准差应为

$\ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}$

这化简成

$\sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}$

几何标准分数

标准分数的几何版本是

$z={{\ln(x)-\ln(\mu _{g})} \over \ln \sigma _{g}}={\log _{\sigma _{g}}(x/\mu _{g})}$

若已知一个数据的几何平均数、几何标准差、和几何标准分数，则可重构原始分数

$x=\mu _{g}{\sigma _{g}}^{z}$

与对数正态分布的关系

几何标准差用于量度对数正态分布的离散程度，就如几何平均数。由于对数正态分布通过对数变换得出正态分布，可见几何标准差是e的幂，指数为对数变换后的标准差，即是$\sigma _{g}=\exp(\operatorname {stdev} (\ln(A)))$。

于是乎，从一个呈对数正态分布的母体中，抽取样本来计算出几何平均数和几何标准差，可用来找出置信区间的上下限，如同使用算术平均数和标准差求正态分布的置信区间。详见对数正态分布。