截线定理

截线定理（英语：Intercept theorem），是平面几何中的基本定理之一。截线定理说明，平面上的一个三角形中，若在其中一条腰的中点作一条直线，与其底边平行，则该线穿过另一条腰的中点。这定理可推广到梯形上，以及一般化至任意分割比例的情况。截线定理与另外两条几何定理中点定理和等比定理有密切关系。

定理

截线定理的最基本形式是在三角形上的应用。

图中有三角形 $ABC$，作一条直线 $DE$ 与底边 $AB$ 平行。

截线定理说明，若 $AD=DC$，则 $BE=EC$。

换句话说，$DE$ 是三角形 $ABC$ 的中位线。

这定理能简单推广到梯形上应用。

图中有梯形 $FGIH$，其中 $FG\parallel HI$。作一条直线 $JK$ 与上底 $HI$ 和下底 $FG$ 平行。

截线定理说明，若 $FJ=JH$，则 $GK=KI$。

同样地，$JK$ 是梯形 $FGIH$ 的中位线。

一般化定理

对于平行线将腰分割成任意比例的情形，一般化截线定理则给出，左右两条腰的分割比例相等。

在上图的三角形 $ABC$ 中，若 $DE\parallel AB$，则有 ${\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}$。

同样地，在梯形 $FGIH$，若 $JK\parallel FG\parallel HI$，则有 ${\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}$。

证明

这定理能以相似三角形简单证明。

考虑上图的 $\Delta ABC$ 和 $\Delta DEC$。由于

• $\angle ACB=\angle DCE$ （公共角）
• $\angle CAB=\angle CDE$ （平行线的同位角）
• $\angle CBA=\angle CED$ （平行线的同位角）

所以$\Delta ABC\sim \Delta DEC$。（等角）

由此可得 ${\frac {AC}{DC}}={\frac {BC}{EC}}$ 。（相似三角形的对应边）

因此 ${\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}$。

证毕。

对于梯形的情况，考虑梯形 $FGIH$ ，在 $I$ 上作一直线，与 $FH$ 平行，并与 $JK$ 和 $FG$ 分别相交于 $L$ 和 $M$。

由定义可知，$FMLJ$ 和 $JLIH$ 是平行四边形。

因此 $FJ=ML$ 及 $JH=LI$。（平行四边形的对边）

上面已证明，由 $JK\parallel FG$，可知 ${\frac {ML}{LI}}={\frac {GK}{KI}}$。

代入可得 ${\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}$。

证毕。

参见

• 平面几何
• 三角形
• 梯形
• 中位线
• 相似三角形
• 中点定理
• 等比定理
• 宇恒定理

参考来源

• Schupp, H. Elementargeometrie. UTB Schöningh. 1977: 124–126. ISBN 3-506-99189-2 （德语）. 
• Leppig, Manfred. Lernstufen Mathematik. Girardet. 1981: 157–170. ISBN 3-7736-2005-5 （德语）. 
• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas. Elementary Geometry. AMS. 2008: 10–13, 16–18 [2018-04-14]. ISBN 0-8218-4347-8. （原始内容存档于2022-06-01） （英语）. 
• Stillwell, John. The Four Pillars of Geometry. Springer. 2005: 34 [2018-04-14]. ISBN 978-0-387-25530-9. （原始内容存档于2022-06-01） （英语）. 
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard. Geometry by Its History. Springer. 2012: 3–7 [2018-04-14]. ISBN 978-3-642-29163-0. （原始内容存档于2022-06-01） （英语）. 

外部链接

• 截线定理（PlanetMath） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Alexander Bogomolny: Thales' Theorems （页面存档备份，存于互联网档案馆） and in particular Thales' Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Cut-the-Knot