扩张 (度量空间)

在数学中，扩张（英语：dilation）是从度量空间 $M$ 映射到 $M$ 本身的函数 $f$ ，使得恒等式

d(f(x),f(y))=rd(x,y)

对任意 $x,y\in M$ 都成立，其中 $d(x,y)$ 是 $x$ 到 $y$ 的距离， $r$ 是正实数。 ^[1]

对于欧氏空间，这样的扩张相当于空间的相似。 ^[2]扩张只改变对象或者说图形的大小，而不改变其形状。

欧氏空间的每个不是全等的扩张都有唯一的不动点^[3] ，称为扩张中心。 ^[4]而在全等关系中，有些全等有固定点，有些则没有。 ^[5]

参见

^ Montgomery, Richard, A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Mathematical Surveys and Monographs 91, American Mathematical Society, Providence, RI: 122, 2002 [2021-09-29], ISBN 0-8218-1391-9, MR 1867362, （原始内容存档于2021-09-29） .
^ King, James R., An eye for similarity transformations, King, James R.; Schattschneider, Doris (编), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, Mathematical Association of America Notes 41, Cambridge University Press: 109–120, 1997, ISBN 9780883850992 . See in particular p. 110 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
^ Audin, Michele, Geometry, Universitext, Springer, Proposition 3.5, pp. 80–81, 2003 [2021-09-29], ISBN 9783540434986, （原始内容存档于2021-09-29） .
^ Gorini, Catherine A., The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing: 49, 2009 [2021-09-29], ISBN 9781438109572, （原始内容存档于2021-09-29） .
^ Carstensen, Celine; Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard, Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry and Cryptography, Walter de Gruyter: 140, 2011 [2021-09-29], ISBN 9783110250091, （原始内容存档于2021-09-29） .