替罪羊树

替罪羊树（英语：Scapegoat tree）是电脑科学中，一种基于部分重建的自平衡二叉搜索树。在替罪羊树上，插入或删除节点的平摊最坏时间复杂度是${\text{O}}(\log n)$，搜索节点的最坏时间复杂度是${\text{O}}(\log n)$。

替罪羊树
类型	树
发明时间	1989年
发明者	阿尔尼·安德森、伊加尔·加尔佩林、罗纳德·李维斯特
用大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差 空间 $O(n)$ 搜索 $O(\log n)$ $O(\log n)$ 插入 $O(\log n)$ $O(n)$ 删除 $O(\log n)$ $O(n)$

在非平衡的二叉搜索树中，每次操作以后检查操作路径，找到最高的满足$\max(size(son_{L}),size(son_{R}))>\alpha *size(this)$的结点，重建整个子树。这样就得到了替罪羊树，而被重建的子树的原来的根就被称为替罪羊节点。常数$\alpha$一般选择为$0.7$左右。

与大多数平衡树所采用的缓慢调整的方式不同，替罪羊树采用了一种进行次数较少但代价较大的重构操作，即选择一个节点作为“替罪羊”，并将这个节点的子树直接重构成完全二叉树。因此，替罪羊树的最坏时间复杂度为${\text{O}}(n)$

理论

说一个二叉查找树是平衡的，当且仅当根节点左侧与右侧的节点各占一半，而替罪羊树则放松了这一限制，即，只需要满足

$size(left)\leq \alpha size(node)$

$size(right)\leq \alpha size(node)$

其中$size$函数（递归地）定义如下

function size(node)
    if node = nil then
        return 0
    else
        return size(node->left) + size(node->right) + 1
    end if
end function

参考文献

• Andersson, Arne. Improving partial rebuilding by using simple balance criteria. Proc. Workshop on Algorithms and Data Structures. Springer-Verlag: 393–402. 1989. doi:10.1007/3-540-51542-9_33. （英文）
• Galperin, Igal; Rivest, Ronald L. Scapegoat trees. Proceedings of the fourth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete algorithms. 1993: 165–174. （英文）