欧拉第一定律表明，从某惯性参考系 观测，施加于刚体的合外力，等于刚体质量 与质心 加速度 的乘积。[ 3]
F
(
e
x
t
)
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}}
其中，
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
m
{\displaystyle m}
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}}
刚体的平移运动 等同于位于其质心、具有其质量的粒子，感受到同样的合外力，而呈现的运动。
思考由
n
{\displaystyle n}
r
c
m
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}}
r
c
m
=
d
e
f
∑
i
=
1
n
m
i
r
i
m
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{m}}}
其中，
m
i
{\displaystyle m_{i}}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
i
{\displaystyle i}
位置 ，
m
=
∑
i
=
1
n
m
i
{\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}
质心速度
v
c
m
{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}}
v
c
m
=
d
r
c
m
d
t
=
∑
i
=
1
n
m
i
v
i
m
{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{m}}}
其中，
v
i
=
d
r
i
d
t
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}}
i
{\displaystyle i}
速度 。
质心加速度
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}}
a
c
m
=
d
v
c
m
d
t
=
∑
i
=
1
n
m
i
a
i
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {a} _{i}}{m}}}
其中，
a
i
=
d
2
r
i
d
t
2
{\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}
i
{\displaystyle i}
加速度 。
第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
F
i
=
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
其中，
F
i
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(ext)}}
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}}
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
系统感受到的合力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
∑
i
=
1
n
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
根据牛顿第三定律 ，内力与其反作用力的关系为
F
j
i
=
−
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ji}}
所以，所有粒子彼此施加于对方的内力的矢量和为零，合力等于所有外力的矢量和 （合外力
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
(
e
x
t
)
=
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}=\mathbf {F} ^{(ext)}}
根据牛顿第二定律 ，第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
F
i
=
m
i
a
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}}
总和所有粒子所感受到的力，
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
∑
i
=
1
m
i
a
i
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}m_{i}\mathbf {a} _{i}=m\mathbf {a} _{cm}}
所以，合外力
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
F
(
e
x
t
)
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}}
多粒子系统的动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
=
∑
i
=
1
n
p
i
=
∑
i
=
1
n
m
i
v
i
=
m
v
c
m
{\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m\mathbf {v} _{cm}}
其中，
p
i
{\displaystyle \mathbf {p} _{i}}
i
{\displaystyle i}
欧拉第一定律又可以表达为
F
(
e
x
t
)
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
假设合外力为零，则系统的动量守恒。
欧拉第二定律表明，设定某惯性参考系 的固定点O（例如，原点 ）为参考点，施加于刚体的净外力矩 ，等于角动量 的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为
τ
O
(
e
x
t
)
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
L
O
{\displaystyle \mathbf {L} _{O}}
思考由
n
{\displaystyle n}
i
{\displaystyle i}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
L
i
=
r
i
×
p
i
=
r
i
×
m
i
v
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
d
L
i
d
t
=
d
(
r
i
×
m
i
v
i
)
d
t
=
v
i
×
m
i
v
i
+
r
i
×
m
i
a
i
=
r
i
×
m
i
a
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i})}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}}
根据牛顿第二定律 ，施加于第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
d
L
i
d
t
=
r
i
×
F
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}}
第
i
{\displaystyle i}
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
τ
i
=
r
i
×
F
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}}
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
τ
i
=
d
L
i
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}}
总和所有粒子所感受到的合力矩，系统所感受到的合力矩
τ
O
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}}
L
O
{\displaystyle \mathbf {L} _{O}}
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
d
d
t
∑
i
=
1
n
L
i
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
第
i
{\displaystyle i}
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
F
i
=
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
第
i
{\displaystyle i}
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
τ
i
=
r
i
×
F
i
=
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
r
i
×
F
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}}
物体感受到的合力矩
τ
O
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}}
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
r
i
×
F
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}}
应用牛顿第三定律 ，
r
i
×
F
j
i
+
r
j
×
F
j
i
=
r
i
×
F
j
i
−
r
j
×
F
j
i
=
(
r
i
−
r
j
)
×
F
j
i
=
r
i
j
×
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {F} _{ji}}
其中，
r
i
j
=
r
i
−
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{j}}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律 ，即粒子运动为经典运动，速度超小于光速 ，则
r
i
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}}
叉积 为零。那么，物体感受到的合力矩是所有外力矩的矢量和
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
τ
O
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
=
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}={\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
这样，可以得到欧拉第二定律方程
τ
O
(
e
x
t
)
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
假设施加于系统的合外力矩为零，则系统的角动量的时间变化率为零，系统的角动量守恒。
所有粒子所感受到的合力矩的矢量和为
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
(
m
i
a
i
)
=
∑
i
=
1
n
(
r
c
m
+
r
i
′
)
×
(
m
i
(
a
c
m
+
a
i
′
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{cm}+\mathbf {r} '_{i})\times (m_{i}(\mathbf {a} _{cm}+\mathbf {a} '_{i}))}
其中，
r
i
′
=
r
i
−
r
c
m
{\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}}
a
i
′
=
a
i
−
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} '_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}}
i
{\displaystyle i}
注意到所有粒子的相对位移与相对加速度，其矢量和分别为零，所以，
τ
O
=
r
c
m
×
m
a
c
m
+
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
a
i
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\mathbf {r} _{cm}\times m\mathbf {a} _{cm}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}}
现在，假设将质心设定为参考点，则
r
c
m
=
0
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}=0}
τ
c
m
=
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
a
i
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}}
以质心为参考点，角动量
L
c
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}}
L
c
m
=
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
v
i
′
{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i}}
所以，不论质心参考系是否为惯性参考系（即不论质心是否呈加速度运动），以质心为参考点，合外力矩等于角动量的时间变化率：
τ
c
m
=
d
L
c
m
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{cm}}{\mathrm {d} t}}}
在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样，也就是说，其内部存在有应力 分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常，牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动，但在连续介质力学 里，被加以延伸后，可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成，每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律，则可以推导出欧拉运动定律。不论如何，欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理，与物体结构无关。[ 4]
在塑性力学 （plasticity theory）里，施加于一个连续物体B的力可以分类为两种：“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分，称为彻体力 （body force ），而短程力只能作用于物体表面，称为接触力 （contact force ）。这样，施加于连续物体的合力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
b
{\displaystyle \mathbf {F} _{b}}
F
t
{\displaystyle \mathbf {F} _{t}}
F
b
=
∫
V
b
d
m
=
∫
V
ρ
b
d
V
{\displaystyle \mathbf {F} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {b} \,\mathrm {d} m=\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V}
F
t
=
∫
S
t
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S}
其中，
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
量纲 为力每单位质量），
d
m
{\displaystyle \mathrm {d} m}
ρ
{\displaystyle \rho }
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
表面曳力 （surface traction ）密度，
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} S}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
由于彻体力与接触力施加于物体，造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样，对于原点的合力矩
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
b
{\displaystyle \mathbf {L} _{b}}
L
t
{\displaystyle \mathbf {L} _{t}}
L
b
=
∫
V
r
×
ρ
b
d
V
{\displaystyle \mathbf {L} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V}
L
t
=
∫
S
r
×
t
d
S
{\displaystyle \mathbf {L} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
欧拉第一定律（“力平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的合外力等于净动量的时间变化率：
F
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
也就是说，
∫
V
ρ
b
d
V
+
∫
S
t
d
S
=
d
d
t
∫
V
ρ
v
d
V
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V}
其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
欧拉第二定律（“角动量平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的合力矩等于净角动量的时间变化率：
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}
也就是说，
∫
V
r
×
ρ
b
d
V
+
∫
S
r
×
t
d
S
=
d
d
t
∫
V
r
×
ρ
v
d
V
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V}
