浮点数运算

电脑科学中,浮点数运算(Floating-point arithmetic)是一种用浮点(英语:floating point,缩写为FP)方式表示实数的运算方式。浮点是一种对于实数的近似值数值表现法,由一个有效数字(即尾数)加上幂数来表示,通常是乘以某个基数的整数次指数得到。以这种表示法表示的数值,称为浮点数floating-point number)。浮点数运算运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入

十进制浮点数的表示方式

电脑使用浮点数运算的主因,在于电脑使用二进位制的运算,例如:4÷2=2,4=100(2)、2=010(2),在二进制相当于退一位数,则1.0÷2=0.5=0.1(2),也就是。依此类推二进制的0.01(2)就是十进制==0.25。由于十进位制无法准确换算成二进位制的部分小数,如0.1,因此只能使用近似值的方式表达。

这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。在电脑上,通常使用2为基数的幂数来表示,一个浮点数a由两个数me来表示:a = m × be。在任意一个这样的系统中,可选择一个基数b(记数系统的基)和精度p(即使用多少位来存储),m(即尾数英语Significand)是形如±d.ddd...ddd的p位数(每一位是一个介于0到b-1之间的整数,包括0和b-1)。如果m的第一位是非0整数,m称作正规化的,有一些描述使用一个单独的符号位(s 代表+或者-)来表示正负,这样m必须是正的,e是指数。

这种表示法的设计,来自于对于值的表现范围,与精密度之间的取舍:可以在某个固定长度的存储空间内表示出某个实数的近似值,例如: 一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210,4.321或0.0004321,但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3(必须近似为432.1和43210)。当然,实际使用的位数通常远大于4。

此外,浮点数表示法通常还包括一些特别的数值:+∞和−∞(正负无穷大)以及NaN('Not a Number')。无穷大用于数太大而无法表示的时候,NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。

其中,无穷大,可表示为inf,在内存中的值是阶码为全1,尾数全0。而NaN在内存中的值则是阶码全1,尾数不全0。

电脑的浮点数

浮点指的是带有小数的数值,浮点运算即是小数的四则运算,常用来测量电脑运算速度。大部分电脑采用二进制(b=2)的表示方法。(bit)是衡量浮点数所需存储空间的单位,通常为32位或64位,分别被叫作单精度双精度。有一些电脑提供更大的浮点数,例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理器(以及其被集成进x86处理器中的后代产品)提供80位长的浮点数,用于存储浮点运算的中间结果。还有一些系统提供128位的浮点数(通常用软件实现)。

浮点数的标准

在电脑使用的浮点数被电气电子工程师协会(IEEE)规范化为IEEE 754

举例

π的值可以表示为π = 3.1415926...10(十进制)。当在一个支持17位尾数的电脑中表示时,它会变为0.11001001000011111 × 22

浮点数运算

为了方便呈现,容易阅读,以下的例子会用十进制,有效位数7位数的浮点数,也就是IEEE 754 decimal32格式,其原理不会随进制或是有效位数而变。此处的s表示尾数(有效数字),而e表示指数。

加减法

处理浮点数加法的简单作法是将二个浮点数调整到有相同的指数。在以下例子中,第二个数的小数点左移了三位,使二者的指数相同,之后即可进行一般的加法运算:

  123456.7 = 1.234567 × 10^5
  101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5
  因此
  123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2)
                      = (1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5)
                      = (1.234567 + 0.001017654) × 10^5
                      =  1.235584654 × 10^5

若用e和s来表示

  e=5;  s=1.234567     (123456.7)
+ e=2;  s=1.017654     (101.7654)
  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.001017654  (移位後)
--------------------
  e=5;  s=1.235584654  (實際的和:123558.4654)

这是真实的结果,二个数字真正的和,之后会再四舍五入到七位有效位数,若有需要的话,会再进行正规化,其结果为

  e=5;  s=1.235585    (最後答案:123558.5)

加数的最低三位数(654)没有出现在结果中,这称为舍入误差。在一些极端的例子中,二个浮点数的和可能和其中的被加数或是加数相等:

  e=5;  s=1.234567
+ e=−3; s=9.876543
  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.00000009876543 (移位後)
----------------------
  e=5;  s=1.23456709876543 (真正的和)
  e=5;  s=1.234567         (四捨五入及正規化後)

在上述的例子中,为了要有正确的四舍五入结果,在二数指数差距很大时,要增加许多位数才有正确的结果。不过,在二位制的加减法中,利用一个guard位元、一个rounding位元以及一个额外的sticky位元,就可以有正确的结果[1][2]:218–220

另一个失去有效数字的情形出现在二个几乎相等的数字相减时。在以下的例子中,e = 5; s = 1.234571和e = 5; s = 1.234567是有理数123457.1467和123456.659的近似值。

  e=5;  s=1.234571
− e=5;  s=1.234567
----------------
  e=5;  s=0.000004
  e=−1; s=4.000000 (四捨五入及正規化後)

浮点数的差可以精确的计算,如同Sterbenz引理英语Sterbenz lemma所说明的,就算是因为渐进式下溢出英语gradual underflow而出现下溢出也是一样。不过,原来二个数的差是e = −1; s = 4.877000,和浮点数计算结果e = −1; s = 4.000000之间差了超过20%。在极端的例子中,甚至所有的有效数字都会不见[1][3]。上述的灾难性抵消说明了,假设计算结果的每一位数都有意义,这个想法很危险。这类误差的处理及修正是数值分析中的主题之一。

乘除法

若要进行乘法,将有效数字相乘,指数相加,再进行四舍五入及正规化即可。

  e=3;  s=4.734612
× e=5;  s=5.417242
-----------------------
  e=8;  s=25.648538980104 (真實乘積)
  e=8;  s=25.64854        (四捨五入後)
  e=9;  s=2.564854        (正規化)

而除法会将被除数和除数的有效数字相除,二者的指数相减,再进行四舍五入及正规化。

乘除法不会有抵消或是某一数字被吸收的问题,不过仍会出现一些小误差,若连续运算,误差会变大[1]。实务上,要进行上述运算的数码逻辑可能会相当的复杂(像是布斯乘法算法以及除法器)。

准确性

由于浮点数不能表达所有实数,浮点运算与相应的数学运算有所差异,有时此差异极为显著。

比如,二进制浮点数不能表达0.1和0.01,0.1的平方既不是准确的0.01,也不是最接近0.01的可表达的数。单精度(24位元)浮点数表示0.1的结果为 , ,即

0.100000001490116119384765625

此数的平方是

0.010000000298023226097399174250313080847263336181640625

但最接近0.01的可表达的数是

0.009999999776482582092285156250

浮点数也不能表达圆周率 ,所以 不等于正无穷,也不会溢出。下面的C语言代码

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;
double z = tan(pi/2.0);

的计算结果为16331239353195370.0,如果用单精度浮点数,则结果为−22877332.0。同样的, 

由于浮点数计算过程中丢失了精度,浮点运算的性质与数学运算有所不同。浮点加法和乘法不符合结合律分配律

事故

奔腾早期的60-100MHz P5版本在浮点运算单元有一个问题,在极少数情况下,会导致除法运算的精确度降低。这个缺陷于1994年被发现,变成如今广为人知的奔腾浮点除错误,同时这一事件导致英特尔陷入巨大的窘态,建立召回计划来回收有问题的处理器。

相关条目

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Goldberg, David. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic (PDF). ACM Computing Surveys. March 1991, 23 (1): 5–48 [2016-01-20]. S2CID 222008826. doi:10.1145/103162.103163. (原始内容存档 (PDF)于2006-07-20).  ([1]页面存档备份,存于互联网档案馆), [2]页面存档备份,存于互联网档案馆), [3]页面存档备份,存于互联网档案馆))
  2. ^ Patterson, David A.; Hennessy, John L. Computer Organization and Design, The Hardware/Software Interface. The Morgan Kaufmann series in computer architecture and design 5th. Waltham, Massachusetts, USA: Elsevier. 2014: 793. ISBN 978-9-86605267-5 (英语). 
  3. ^ 美国专利3037701A (PDF 版本)(于1962年6月5日注册)Huberto M Sierra——Floating decimal point arithmetic control means for calculator。