热量子场论

在理论物理中，热量子场论 (简称热场论) 或有限温度场论 (finite temperature field theory) 是计算在有限 (不为零的) 温度下，量子场论中物理可观察量之期望值的方法。

在松原方法（英语：Matsubara formalism） (Matsubara formalism) 中，一个运算子在热系综的期望值

\langle A\rangle ={\frac {{\mbox{Tr}}\,[\exp(-\beta H)A]}{{\mbox{Tr}}\,[\exp(-\beta H)]}}

可以被量子场论中以虚数时间 $\tau =-it(0\leq \tau \leq \beta )$ 所演化的期望值所表示。 ^[1] 由于使用虚数时间，计算上可以使用欧几里得度量的时空。式中的迹 ( ${\mbox{Tr}}$ ) 要求所有的玻色场在欧几里德时间方向 $\tau$ 上皆有周期为 $\beta =1/(kT)$ 的周期性，而费米场则有反周期性 (这里使用自然单位 $\hbar =1$ )。此方法让我们能够使用量子场论中已存在的技巧，如泛函积分（英语：Functional integration）和费曼图等，并将其中的时间修改为紧致的欧几里德时间来做计算。同时，正规顺序 (Normal Ordering) 的定义也必须被修改。 ^[2] 在动量空间下，这对应于将原本连续的频率，以离散的虚数 (松原) 频率 $v_{n}=n/\beta$ 取代。透过德布罗意关系，这对应于离散的热能量频谱 $E_{n}=nKT$ 。这样的方法被证明对研究量子场论在有限温度下的现象很有效 ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ，并且已经被推广到规范场论，是研究杨-米尔斯理论中去禁闭 (deconfining) 相变猜想的重要工具。 ^[7] ^[8] 在欧式空间场论中，实数时间下的可观测量可以由解析延拓获得。 ^[9]

有限温度场论，除了使用非真实的虚数时间来计算，还有两种使用实数时间 (real-time formalism) 的方法。 ^[10] 第一种是依路径排序 (path-ordered) 的实数时间方法，其包含了 Schwinger-Keldysh formalism（英语：Schwinger-Keldysh formalism）及其他更近代的版本。 ^[11] 后者将一条原本从负的(大的)初始时间 $t_{i}$ 出发到 $t_{i}-i\beta$ 的直线路径，取代为一条先经过正的(大的)实数时间 $t_{f}$ 再适当的回到 $t_{i}-i\beta$ 的路径。 ^[12] 事实上，真正需要的是一段经过实数轴的路段，而前往终点 $t_{i}-i\beta$ 所选的路线是较不重要的。 ^[13] 这样以区段 (piecewise) 方式组成的复数时间路径，造成场的数量增倍以及更复杂的费曼规则，不过却避免了使用虚数时间方法所需的解析延拓。另一种实数时间方法称为热场力学 (thermo field dynamics)，是一种以运算子为基础，使用勃格留波夫变换 (Bogoliubov transformation) 的方法。 ^[10] ^[14] 就如费曼图和微扰论等方法一样，其他技巧如色散关系 (dispersion relations) 和有限温度的 Cutkosky rules 也都可以在实数时间方法中使用。 ^[15] ^[16]

另一种在数学物理上感兴趣的方法是使用 KMS 态（英语：KMS state）来处理。

参阅

松原频率（英语：Matsubara frequency）

参考文献

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