考克斯特群

数学中,考克斯特群是一类由空间中对超平面的镜射生成的。这类群广泛出现于数学的各分支中,二面体群与正多胞体的对称群都是例子;此外,根系对应到的外尔群也是考克斯特群。这类群以数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特命名。

形式定义

所谓考克斯特群,是一个群   写成如下的表达式,即由满足一些交互关系的生成元生成的群

 

其中   满足   以及   对所有  。在此   意指   恒不等于单位元。

注意到  ;若  ,则  。且 m 满足对称性  

令这组生成元为  。资料   称为考克斯特群。方阵   称为考克斯特矩阵

性质

 
有限考克斯特群的分类

  为考克斯特群,可证明存在一个有限维实矢量空间   及其上的非退化双线性形  (未必正定),使得   同构于正交群   的某个子群。由于   的元素均为二阶,可视之为   中对某些超平面的镜射。

利用   的展示,定义元素的长度如下:对  ,定义其长度   为所有表法   中最短的  。由此可导出

 
 

例子

  • 对称群   是考克斯特群。在此可取   为置换  ;关系为  
  • 正多胞体的对称:正多胞体的对称群是有限考克斯特群。举例明之:正多边形的对称群是二面体群,正 n 维单形的对称群是前述的  ,又称为   型的考克斯特群。n 维超正方体的对称群为  正十二面体正二十面体的对称群是  。在四维空间中,存在三种特别的正多胞体──正二十四胞体正一百二十胞体正六百胞体,其对称群分别是    可以由某些半正多胞体的对称群得到。
  • 外尔群:每个根系的外尔群都是有限考克斯特群。
  • 仿射外尔群:仿射外尔群是无限群,但带有一个正则阿贝尔子群,使得对应的商群是个外尔群。

分类

一般而言,两个群展示的同构与否是无法判定的。然而对考克斯特群则有一个简单的判准,称为交换条件。可以透过考克斯特-丹金图分类有限考克斯特群。图的构造方式为:

  1. 每个生成元对应到一个顶点。
  2.  ,则顶点   之间有边相连。
  3.  ,则将边标上  

文献

  • Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
  • Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 档案下载页面存档备份,存于互联网档案馆) .
  • James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.