艾伦伯格-斯廷罗德公理

在数学的代数拓扑学中，艾伦伯格－斯廷罗德公理（英语：Eilenberg–Steenrod axioms）是拓扑空间的同调论的共有性质。符合这套公理的同调论的典型例子，是由塞缪尔·艾伦伯格和诺曼·斯廷罗德建立的奇异同调（英语：singular homology）。

同调论可以定义为符合艾伦伯格－斯廷罗德公理的函子列。这个公理化方法在1945年建立，可以用来证明只要符合公理的同调论都会有的共同结果，例如迈耶－菲托里斯序列（英语：Mayer–Vietoris sequence）。

如果省略了其中的维数公理，那么其余的公理所定义的是广义同调论（英语：extraordinary homology theory）。最早出现的广义同调论是K-理论和配边理论（英语：cobordism theory）。

正式定义

艾伦伯格－斯廷罗德公理用于从拓扑空间偶(X, A)范畴到阿贝尔群范畴的函子列 $H_{n}$ ，连同称为边界映射的自然变换 $\partial :H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ 。（在此H_i − 1(A)是H_i − 1(A,∅)的简记。）这套公理是：

恒同映射 $\mathrm {id} :(X,A)\to (X,A)$ 在同调群中诱导的同态 $H_{n}(\mathrm {id} ):H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,A)$ 是恒同同态。
设有空间偶的映射 $f:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ ， $g:(Y,B)\rightarrow (Z,C)$ ，那么 $H_{n}(g)\circ H_{n}(f)=H_{n}(g\circ f).$
设有空间偶的映射 $f:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ ，那么 $\partial \circ H_{n}(f)=H_{n-1}(f|_{A})\circ \partial .$
同伦：同伦的映射在同调群中诱导相同的同态。换言之，如果 $g:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ 同伦于 $h:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ ，那么其诱导同态相同：
$H_{n}(g)=H_{n}(h):H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)$ 对所有n ≥ 0。
切除：设(X, A)是空间偶，U是X的子集，使得U的闭包包含在A的内部之中。那么包含映射 $i:(X-U,A-U)\to (X,A)$ 在同调群中诱导的是同构。
维数：设P是单点空间，那么 $H_{n}(P)=0$ 对所有n ≠ 0。
正合：任何空间偶(X, A)经由包含映射 $i:A\to X$ 和 $j:X\to (X,A)$ ，都在同调群中诱导出长正合序列：
$\cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .$

约翰·米尔诺增加了一条公理：

可加性：设

X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}

是拓扑空间族

X_{\alpha }

的不交并，那么

H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).

设P是单点空间，那么 $H_{0}(P)$ 称为系数群。

结果

同调群的一些结果可以用公理推导出，例如同伦等价空间的同调群是同构的。

一些较为简单的空间的同调群可以直接从公理算出，比如n-球面。因此可以推导出(n-1)-球面不是n-球的收缩。用这个结果可以给出布劳威尔不动点定理的一个证明。

维数公理

如果一个同调论符合差不多所有艾伦伯格－斯廷罗德公理，但维数公理除外，便称为广义同调论（英语：extraordinary homology theory）（对偶概念为广义上同调论）。一些重要例子在1950年代发现，例如拓扑K-理论和配边理论（英语：cobordism theory），都是广义上同调论，并有与之对偶的同调论。

参看

Zig-zag lemma（英语：Zig-zag lemma）

参考文献

Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
Glen Bredon（英语：Glen Bredon）: Topology and Geometry, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
James W. Vick. Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology 2nd edition. Springer-Verlag. 1994.