达布定理 (微分几何)

达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理，部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布 命名，他在解 Pfaff 问题 时建立了这个定理。

这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说，任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cⁿ。应用于切触几何也有类似的结论。

定理的陈述和第一个推论

定理准确的陈述如下。 设 θ 是一个 n 维流形上的 1-形式，使得 dθ 有常秩 p 。如果任一点都有

θ ∧ (dθ)^p = 0 ，

那么有一个局部的坐标系 x₁,...,x_n-p, y₁, ..., y_p ，在这个坐标系下

θ = x₁ dy₁ + ... + x_p : θ = x₁ dy₁ + ... + x_p dy_p + dx_p+1。

dy_p。 另一个方面，如果任一点有

θ ∧ (dθ)^p ≠ 0 任何处,

那么有一个局部坐标系 x₁,...,x_n-p, y₁, ..., y_p 使得

θ = x₁ dy₁ + ... + x_p dy_p + dx_p+1.

特别的，设 ω 是 n=2m 维流形 M 上的一个辛 2-形式。M 上任一点 p 的局部，由 庞加莱引理，总有一个 1-形式 θ 满足 dθ=ω 。进一步 θ 满足达布定理的第一个假设，从而局部存在一个 p 附近的坐标卡 U 使得

θ = x₁ dy₁ + ... + x_m dy_m。

取外导数便有

ω = dθ = dx₁ ∧ dy₁ + ... + dx_m ∧ dy_m。

坐标卡 U 称为 p 附近的达布坐标卡。 流形 M 能被这样的卡覆盖。

换一种方式叙述，将 R^2m 与 C^m 等同起来，令 z_j = x_j + i y_j。如果 φ : U → Cⁿ是一个达布坐标卡，那么 ω 是标准辛形式 ω₀ 在 Cⁿ 上的拉回:

$\omega =\phi ^{*}\omega _{0}\,$ 。

和黎曼几何的比较

这个结论意味着辛几何没有局部不变性：在任何一点附近，总能取一个达布基。这和黎曼几何具有显著的不同，高斯绝妙定理指出曲率是黎曼几何的一个局部不变量。曲率阻碍了将度量局部写成一个平方和。

必须要强调的是，达布定理是说 ω 能在 p 附近的“整个邻域”写成一个标准形式。黎曼几何中，度量总能在给定一“点”写成一个标准形式，但一般不能在那个点的邻域，除非局部为欧氏空间。

又见

• Carathéodory-Jacobi-Lie 定理，这个定理的一个推广。

参考文献

• Darboux, Gaston. Sur le problème de Pfaff. Bull. Sci. Math. 1882, 6: 14–36, 49–68. 
• Pfaff, Johann Friedrich. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin. 1814–1815: 76–136. 
• Sternberg, Shlomo. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 1964. 
• McDuff, D. and Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9. 

外部链接

• Proof of Darboux's Theorem. PlanetMath.