数学中,正整数的阶幂(英语:expofactorialexponential factorial)是所有小于及等于该数的正整数,记作 n$ ,例如:

阶幂是阶加阶乘幂运算上的类比。

前几项的阶幂数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... (OEIS数列A049384

阶幂的增长率比阶乘,甚至过级阶乘还要快。到了5的阶幂,已经是

定义

一般地说,对于正整数 n

 

从上述公式中,可以推导出递推关系

 

递推关系在阶幂函数中任意正整数 n 皆成立,例如:

 

非正整数的扩展

阶幂原始的定义只在正整数上。不同于阶乘,阶幂的定义域从正整数推广到实数复数的过程中,遇到了困难。

迭代幂次相似,由于幂塔高度为 0 的数值并没有一个广为接受的良好定义,   并未定义。阶幂亦不像阶乘般,存在如伽玛函数一样的函数,作为其对实数以至复数的扩展。

变化

双阶幂

类比于双阶乘,能够为正整数 n 定义双阶幂(double expofactorial)。

 单数 

 双数 

多重阶幂

双阶幂能进一步推广为多重阶幂(multiple expofactorial)。  被称为 nm 重阶幂,定义为

 

例如,  

超级阶幂

类比于由尼尔·斯洛恩西蒙·普劳夫定义的超级阶乘,我们能定义超级阶幂(superexpofactorial)为首 n 个阶幂的叠幂,记作 

 

例如,  

前几个超级阶幂为

1 , 2 , 81, ...
第四个超级阶幂值约为 

过级阶幂

过级阶幂(hyperexpofactorial)写作   ,其定义为

 

其中   表示迭代幂次

例如,  

前几项的过级阶幂为

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
第四个过级阶幂值约为 

倒数阶幂

倒数阶幂(reciprocal expofactorial)是指所有小于及等于该数的正整数之倒数的叠幂:

 

阶幂的和及积

n 个阶幂的和为

 

n 个阶幂的积为

 

以上两个数值的增长率,要比阶幂本身还要快。


n 个阶幂倒数的和为

 

n 趋向无穷大,其值收敛于  。(OEIS数列A080219

参见

参考文献