高斯和

数论中一种单位根的有限和

数论中,高斯和是一种单位根的有限和,可抽象地表为

其中 为有限交换环 为同态, 亦为同态,对于 ,可定义

这类有限和常见于代数数论解析数论。此时通常取 ,特征 必为 之形式(),此处的 不外是一个狄利克雷特征。这类高斯和有时也记为 ,出现于狄利克雷L函数的函数方程中。

高斯和的绝对值可透过抽象调和分析的方法导出,其确切值则较难确定。高斯首先算出了二次高斯和,此时取 ,其中 素数,并取 勒让德符号。高斯和遂化为下述指数和

高斯得到的结果是:

由此可导出二次互反律的一种证明;二次高斯和也与Theta 函数理论相关。

文献