齐次函数

在数学中，齐次函数（英语：Homogenous）是一个有倍数性质的函数：如果变数乘以一个系数，则新函数会是原函数再乘上系数的某次方倍。

正式定义

假设$f:V\rightarrow W$是域$F$内的两个向量空间之间的函数。

我们说$f$是“$k$次齐次函数”，如果对于所有非零的$\alpha \in F$和$\mathbf {v} \in V$，都有：

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$

即是，在欧几里得空间，$f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )$， 其中$f(k)$为指数函数。

例子

• 线性函数$f:V\rightarrow W$是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的$\alpha \in F$和$\mathbf {v} \in V$，都有：$$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$$
• 多线性函数$f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W$是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的$\alpha \in F$和$\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$都有：$$f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$$
• 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间$X$和$Y$之间的函数$f:X\rightarrow Y$的$n$阶弗雷歇导数是$n$次齐次函数。
• $n$元单项式定义了齐次函数$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$。

例如：

$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}$

是10次齐次函数，因为：

$(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}$。

• 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理

• 欧拉定理：假设函数$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$是可导的，且是$k$次齐次函数。那么：

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad$。

这个结果证明如下。记$f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$，并把以下等式两端对$\alpha$求导：

$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

利用复合函数求导法则，可得：

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$，

因此：

$x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$。

以上的方程可以用劈形算符写为：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathbf{x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{x}) = k \alpha^{k}f(\mathbf{x}), \qquad \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n})} ，

当$\alpha =1$，定理即得证。

• 假设$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$是可导的，且是$k$阶齐次函数。则它的一阶偏导数$\partial f/\partial x_{i}$是$k-1$阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记$f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$，并把以下等式两端对$x_{i}$求导：

$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

利用复合函数求导法则，可得：

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})$，

因此：

$\alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

所以

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$.

用于解微分方程

对于以下的微分方程

$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$

其中$I$和$J$是同次数的齐次函数，利用变量代换$v=y/x$，可以把它化为可分离变量的微分方程：

$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v$。

参考文献

• Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Homogeneous function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Homogeneous function. PlanetMath.