Delta位势阱

量子力学里,Delta位势阱是一个内位势为负狄拉克Delta函数,阱外位势为0的位势阱。Delta位势阱问题专门研讨,在这种位势的作用中,一个粒子的量子行为。这是一个常见的理论问题。假若,粒子的能量是正值的,我们想要知道的是,在被Delta位势垒散射的状况下,粒子的反射系数透射系数。假若,粒子的能量是负值的,这粒子会被束缚于Delta位势阱的阱内。这时,我们想要知道的是粒子的能量与束缚的量子态。

对于一个Delta位势阱的散射。往左与往右的行进波的振幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数反射系数行进波都以红色表示。

定义

一个粒子独立于时间薛定谔方程

 

其中, 约化普朗克常数 是粒子质量, 是粒子位置, 是能量, 波函数 是位势,表达为

 

其中, 狄拉克Delta函数 是狄拉克Delta函数的强度。

导引

这位势阱将一维空间分为两个区域:  。在任何一个区域内,位势为常数,薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的的叠加(参阅自由粒子):

 
 

其中,    都是必须由边界条件决定的常数,下标  分别标记波函数往右或往左的方向。 波数

 时,  都是行进波。可是,当 时,  都随着坐标 呈指数递减或指数递增。

 处,边界条件是:

 
 

特别注意第二个边界条件方程,波函数随位置的导数在 并不是连续的,在位势阱两边的差额有 这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于 的一个非常小的邻域:

 (1)

其中, 是一个非常小的数值。

方程(1)右边的能量项目是

 (2)

 时,该项趋向于0。

方程(1)左边是

 (3)

根据狄拉克Delta函数的定义,

 (4)

而在 的极限,

 (5)
 (6)

将这些结果(4),(5),(6)代入方程(3),整理后,可以得到第二个边界条件方程:在 

 

从这两个边界条件方程。稍加运算,可以得到以下方程:

 
 

散射态

 
一个Delta位势阱的反射系数 (用红线表示)与透射系数 (用绿线表示)随着能量 的变化。在这里,能量 。能量的单位是 。经典力学的答案用虚线表示,量子力学的答案用实线表示。

假若,能量是正值的,粒子可以自由的移动于位势阱外的两个半空间,  。在这里,粒子的量子行为主要是由Delta位势阱造成的散射行为。称这粒子的量子态散射态。设定粒子从左边入射。在Delta位势阱,粒子可能会被反射回去,或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数透射系数。设定    。求算反射的概率幅 与透射的概率幅 

 
 

反射系数是

 

这纯粹是一个量子力学的效应;在经典力学里,这是不可能发生的。

透射系数是

 
  • 由于模型的对称性,假若,粒子从右边入射,我们也会得到同样的答案。
  • 很奇异地,给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函数的强度,Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射系数与透射系数。

束缚态

 
Delta位势阱的束缚态,在任何一个位置,波函数都是连续的;可是,除了在 以外,在其它任何位置,波函数随位置的导数都是连续的。

每一个一维的吸引位势,都至少会存在着一个束缚态bound state)。由于 ,波数变为复数。设定 。前述的振荡的波函数  ,现在却随着坐标 呈指数递减或指数递增。为了要符合物理的真实性,我们要求波函数不发散 。那么,  必须被设定为0。波函数变为

 
 

从边界条件与归一条件,可以得到

 
 

Delta位势阱只能有一个束缚态。束缚态的能量是

 

束缚态的波函数是

 

Delta位势阱是有限深方形阱的一个特别案例。在有限深位势阱的深度 与阱宽 的极限,同时保持 ,就可以从有限深位势阱的波函数,得到Delta位势阱的波函数。

双井迪拉克Delta函数模型

 
当核间距R=2时,双势井狄拉克Delta函数模型中的对称与反对称的波函数

Delta函数模型其实是氢原子的一维版本根据维度比例由 达德利·赫施巴赫(“Dudley R. Herschbach”)[1]团队所研发。此 delta函数模型以双井迪拉克Delta函数模型最有用,因其代表一维版的水分子离子。

双井迪拉克Delta函数模型是用以下薛定谔方程描述:

 

电势现为:

 

其中 是“核间”距离于迪拉克Delta函数(负)峰值位于 (图表中棕色所示)。记得此模型与其三维分子版本的关系,我们用原子单位制且设 。此处 为一可调参数。从单井的例子,可推论拟设于此解为:

 

令波函数于Delta函数峰值相等可得行列式

 

因此, 是由伪二次式方程:

 

它有两解 。若等价情况(对称单核), 则伪二次式化为:

 

此“+”代表了对称于中点的波函数(图中红色)而 称为偶态。接着,“-”情况为反对称于中点的波函数其 称为非偶态(图中绿色)。它们代表着三维 的两种最低能态之近似且有助于其分析。对称电价的特征能分析解为[2]

 

其中W是标准朗伯W函数注意此最低能对应于对称解 。当非等电价,此为三维分子问题,其解为一般化Lambert W函数(见一般化朗伯W函数章节与相关参考)。

外部链接

  1. ^ D.R Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics, Springer, (1992). [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ T.C. Scott, J.F. Babb, Alexander Dalgarno and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", J. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]

参阅