数学上,HNN扩张(英语:HNN extension)是组合群论中的一个基本构造法。HNN扩张是三名数学家Graham HigmanBernhard NeumannHanna Neumann在1949年的论文Embedding Theorems for Groups[1]提出。给定一个中两个同构子群及其间的群同构,这个构造法将这个群嵌入到另一个群中,令到所给定的群同构在新的群中成为共轭。

构造法

G为群,有展示G = 〈S|R〉,又若 α : HKG的两个子群间的群同构。设t为不在S中的新符号,定义

 

Gα称为G相对于α的HNN扩张。原本的群G称为Gα基群,而子群HK称为相伴子群。新的生成元t称为稳定字.

基本性质

由于群Gα包念了G的所有生成元和关系元,所以将G的生成元等同于Gα的生成元,便诱导出从GGα的一个自然的群同态。Higman、Neumann、Neumann证明了这个群同态是群同构,因而是GGα中的嵌入。从上可得出一个结论是一个群中两个同构的子群,必定在某个母群中是共轭子群。这个构造法的原来目的是要证明这个结论。

Britton引理

HNN扩张的一个基础性质是一条正规形的定理,称为Britton引理[2]Gα如上,w是在Gα中如下的一个乘积:

 

Britton引理可表述为:

Britton引理 若在Gαw = 1,则

  • n = 0,且在Gg0 = 1
  • 或是n > 0,且对某个i ∈ {1, ..., n−1}有下列两者之一
  1. εi = 1, εi+1 = −1, giH,
  2. εi = −1, εi+1 = 1, giK.

Britton引理用逆反命题可表述为:

Britton引理(另一形式)w满足以下其中一项

  • n = 0,且g0 ≠ 1 ∈ G
  • n > 0,且w不包含如下的子字串:tht−1,其中hH;及t−1kt,其中kK

则在Gαw ≠ 1。

Britton引理的结果

HNN扩张的大多数基本性质,都可以从Britton引理得出。这些结果包括:

  • GGα的自然群同态内射,所以可以将Gα视作包含G为子群。
  • Gα中任何一个有限元素,是共轭G中的某个元素。
  • Gα中任一个有限子群都共轭于G中某个有限子群.
  • HGKG,则Gα有子群同构于秩2的自由群

应用

HNN扩张是Higman证明Higman嵌入定理的主要工具。这定理说任何有限生成递归展示群可嵌入到一个有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一个有限展示群,有算法不可判定(英语:algorithmically undecidable)的字问题,这定理的现代证明大多数都倚赖于HNN扩张。

HNN扩张和带共合的自由积两者都是讨论在作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。[3]

推广

HNN扩张是群的图基本群的初等例子。

参考

  1. ^ Higman, Graham; B. H. Neumann, Hanna Neumann. Embedding Theorems for Groups (PDF). Journal of the London Mathematical Society. 1949, s1–24 (4): 247–254 [2008-03-15]. doi:10.1112/jlms/s1-24.4.247. (原始内容存档 (PDF)于2019-10-17). 
  2. ^ Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch. IV. Free Products and HNN Extensions.
  3. ^ Jean-Pierre Serre. Trees. Translated from the French by John Stillwell. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ISBN 3-540-10103-9