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'命题：所有的自然数都可以用二十个以内的汉字表达（比如25852016738884976640000可以 表 达为“二十三的阶乘”，100000000000000000000000可以表达为“一后面二十三个零”） 。

证明：反证法。假设存在不能用二十个以内的汉字表达的自然数，则必存在最小的不能用 二十个以内的汉字表达的自然数。但这个自然数可以用“最小的不能用二十个以内的汉字 表达的自然数”来表达。

考虑到汉字的个数有限，所有长度不超过20的汉字字符串的个数也是有限的，因此该命题 显然为假。但上述证明究竟错在哪里？

首先澄清命题中“表达”的概念。一个长度不超过20的汉字字符串（下文称之为一个“描 述”）有且仅有3种情况：

1、对应唯一一个自然数，比如“最小的自然数”、“二十三的阶乘”、“一后面二十三个 零”等。

2、对应超过一个自然数，比如“大于一百的自然数”、“能被七整除”、“最后三位数字 是零”等。

3、不对应任何自然数，比如“我爱北京天安门”、“巭孬嫑昆槑烎奣囧”、“小于零”等 。

命题中的“表达”显然是指第1种，即一个描述对应唯一一个自然数的情况。所有能被至少 一个描述所表达的自然数记为集合E，不能被任何描述表达的自然数记为集合L。

上述证明的错误在于，“最小的不能用二十个以内的汉字表达的自然数”这一描述看似属 于第1种情况，但事实上属于第3种情况，即不对应任何自然数。因此，该证明中的最后一 个“表达”隐晦的偷换了命题中“表达”的概念，驴唇不对马嘴。

进一步说明如下。假设“最小的不能用二十个以内的汉字表达的自然数”对应唯一一个自 然数n。一方面，n应符合该描述的语义，即不能用二十个以内的汉字表达，所以n不在集合 E中。另一方面，根据假设，存在一个描述唯一对应n，所以n也不在集合L中。综上n根本不 存在。

究其根源，是自然语言的问题。其一，自然语言的模糊性导致“表达”一词在上下文中表 达了不同的含义；其二，“最小的不能用二十个以内的汉字表达的自然数”因自我指涉而 隐含了某种语法和语义上的自相矛盾，类似“这个句子是用英语写的”。'