伴随向量映射原理

伴随向量映射原理(covector mapping principle)是泛函分析的基础定理里斯表示定理中的一个特例。名称是由Ross英语I. Michael Ross和其工作伙伴所命名[1][2][3][4][5][6]。伴随向量映射原理提供了运算型最优控制中,可以将离散化和对偶性(dualization)交换顺序的条件。

说明

假设要将庞特里亚金最大化原理应用在问题 ,会从给定的最佳控制问题产生一个边值问题。依照Ross的论点,此边值问题是庞特里亚金提升(Pontryagin lift),表示为问题 

现在要离散化问题 ,这会产生问题 ,其中  表示离散化的点数。为了方便起见,有需要证明下式成立:

 

在1960年代Kalman等人[7]就已证明要求解 会非常的困难。此困难性称之为“复杂度咒诅”(curse of complexity)[8],是“维度咒诅”(dimensionality)的互补。

在1990年代开始的一系列论文中,Ross和Fahroo证明有更简单求解问题 (因此也包括问题 )的方法,作法是先进行离散化(问题 )再进行对偶(问题 )。此作法需要很小心的进行,以确保解的一致性及收敛。伴随向量映射原理确保可以找到一个伴随向量的映射律,将问题 的解映射到问题 的解。

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参考资料

  1. ^ Ross, I. M., “A Historical Introduction to the Covector Mapping Principle,” Proceedings of the 2005 AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, August 7–11, 2005 Lake Tahoe, CA. AAS 05-332.
  2. ^ Q. Gong, I. M. Ross, W. Kang, F. Fahroo, Connections between the covector mapping theorem and convergence of pseudospectral methods for optimal control, Computational Optimization and Applications, Vol. 41, pp. 307–335, 2008
  3. ^ Ross, I. M. and Fahroo, F., “Legendre Pseudospectral Approximations of Optimal Control Problems,” Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol. 295, Springer-Verlag, New York, 2003, pp 327–342.
  4. ^ Ross, I. M. and Fahroo, F., “Discrete Verification of Necessary Conditions for Switched Nonlinear Optimal Control Systems,” Proceedings of the American Control Conference, June 2004, Boston, MA
  5. ^ Ross, I. M. and Fahroo, F., “A Pseudospectral Transformation of the Covectors of Optimal Control Systems,” Proceedings of the First IFAC Symposium on System Structure and Control, Prague, Czech Republic, 29–31 August 2001.
  6. ^ W. Kang, I. M. Ross, Q. Gong, Pseudospectral optimal control and its convergence theorems, Analysis and Design of Nonlinear Control Systems, Springer, pp.109–124, 2008.
  7. ^ Bryson, A.E. and Ho, Y.C. Applied optimal control. Hemisphere, Washington, DC, 1969.
  8. ^ Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate Publishers. Carmel, CA, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.