伪球面

伪球面（英语：pseudosphere，又译拟球面）是几何学中高斯曲率恒为负的平面。一半径$R$的伪球面，是$\mathbb {R} ^{3}$中每点高斯曲率均为$\textstyle -1/R^{2}$的平面。伪球面这个名称是类比半径$R$的球面（曲率$\textstyle 1/R^{2}$的平面），由贝尔特拉米于1868年双曲几何模型的论文提出。 其为曳物线绕其渐近线的旋转曲面。

旋转跟踪曲面（Tractricoid）

定义

对于$xOz$平面上的曳物线，其参数方程为$(x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t<\infty$.

当其绕z轴旋转一圈时，根据旋转曲面的一般参数方程，可得到曲面标准参数方程：

$\left\{{\begin{matrix}x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ),\\z=\mathrm {sech} (t).\end{matrix}}\right.$ 其中 $0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq t<\infty$.

该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。

性质

伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于双曲面。

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何。

早在1693年，惠更斯(Christiaan Huygens)就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是$4\pi R^{2}$，和同半径·球面相同。