克喇末-克勒尼希关系

克喇末-克勒尼希关系式（英语：Kramers–Kronig relations）是数学上连结复面上半可析函数实部和虚部的公式。此关系式常用于物理系统的线性反应函数。物理上因果关系（系统反应必须在施力之后）意味着反应函数必须符合复面上半的可析性。反之，反应函数的可析性意味着相应物理系统的因果性。此关系式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末为名。

公式定义

给定一复数变数$\omega$的复值函数${\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$，其中$\chi _{1}$和$\chi _{2}$是实值函数。假设此函数$\chi (\omega )$在复数平面上半部可析，且当$|\omega |$趋向无限大时，它在上半平面趋于零的速度比$1/|\omega |$快或与之相等，那么$\chi (\omega )$满足以下关系：

$\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '$

和

$\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',$

其中${\mathcal {P}}$表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立：函数的一部分可以重建整个函数。

推导

推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数$\chi (\omega ^{\prime })$和实数$\omega$函数${\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}$在复面上半可析。留数定理得到对任何在复面上半的积分路径：

克拉默斯-克朗尼希关系的积分路径。

$\oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0$

选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分长度和$|\omega |$成正比，因此只要$\chi (\omega ^{\prime })$消失比${1}/{\omega ^{\prime }}$快，对半圆部分积分趋向零。因此积分只剩实轴上直线部和跳过极点的小半圆：

$\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.$

以上第二项留数定理的结果。重组后得到克喇末-克勒尼希关系式：

$\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.$

分母里的虚数$i$意味者这是连系实部和虚部的公式。把$\chi (\omega )$分解成实部和虚部可轻易得到更早的公式。

物理理解

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数$\chi (t-t^{\prime })$概括系统对在时间$t^{\prime }$的作用力$F(t^{\prime })$在另一时间$t$的反应$P(t)$：

$P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }$

因为系统不能在施力前有任何反应因此当$t^{\prime }>t$，$\chi (t-t^{\prime })=0$。 可以证明这因果关系意味着$\chi (\tau )$的傅立叶变换$\chi (\omega )$在$\omega$复面上半可析。另外如果我们施加系统一个远高于它最高共振频率的高频作用力，此时作用力转换太快而系统不能即时做出反应，因此$\omega$很大时，$\chi (\omega )$会趋近于0。从这些物理考量，可知物理反应函数$\chi (\omega )$通常符合克喇末-克勒尼希关系式的前提条件。

反应函数$\chi (\omega )$的虚部和作用力异相。它概括系统如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希关系，我们可以透过观察系统能量消耗而得到它对作用力的同相（不做功）反应，反之亦然。

上述函数的积分路径是从$-\infty$到$\infty$，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为$\chi (\omega )$是实数变量$\chi (t-t')$的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，$\chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )$，$\chi _{1}(\omega )$是频率$\omega$的偶函数，而$\chi _{2}(\omega )$是$\omega$的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为$[0,\infty )$的区间上。考虑实部$\chi _{1}(\omega )$的第一个关系，积分函数上下同乘$\omega '+\omega$可得：

$\chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

由于$\chi _{2}(\omega )$为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

$\chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

类似的推导亦可用于虚部：

$\chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。