初始条件

数学以及动力系统中,初始条件(initial condition),有时也称为种子值(seed value)[1]:pp. 160,是系统未知变数在初始时间(一般表示为t = 0)下的值。考虑以下的初值问题,其中的即为初值条件。

针对k微分方程系统(若在离散时间系统下,是时间延迟的次数,若是连续时间系统,则是微分的总次数),其维数n(表示有n个变数,也可以组成n维的向量),一般会需要nk个初始条件,才能完整的追踪系统的变数。

在连续时间下的微分方程或是离散时间下的递回关系式中,初始条件都会影响后续时间的变数值。若是连续时间系统,针对一动力系统以及其初始条件,要求得其状态变数相对时间函数的解析解,称为初值问题。离散系统中也有对应的问题。若无法求得解析解,可能会用迭代的方式,逐步计算各变数在不同时间下的值,不过因为误差的关系,在长时间后,数值偏差可能会越来越大。

线性系统

离散时间

线性齐次矩阵差分方程(没有常数项),型式为 的差分方程,有解析解 ,其中的向量 是个别变数初始始组成的向量。 可以称为初始条件向量,或称为初始条件,其中包括有nk个资讯,n是向量X的维度,而k = 1是系统的时间延迟次数。线性系统的初始条件不会影响状态变数未来行为的特性,此系统是否稳定是由矩阵A的特征值所决定,不是依初始条件决定。

一个由单一变数以及多数时间延迟组成的系统如下

 

此处的维度n = 1,阶数为k,因此要追踪此系统特性,需要的初始条件个数为nk = k。其初始条件不会影响变数长期演进的特性。方程式的解是由特征方程式 的根决定,所得的是 等特征值,用在以下解的方程式中

 

其中的常数 可以以此方程来求解k个差分方程后,考虑初始条件的结果来求得。

连续时间

n个变数的一阶微分方程,将变数都放在向量X中,可得

 

若有初始条件 ,可以计算不同时间下的数值。需要的初始资讯数量等于系统的维度n乘以系统阶数k = 1 of the system,其结果为n。初始条件不会影响系统的稳定性特性。

单一变数xkth阶微分方程如下:

 

需要的初始条件资讯数量为维度n = 1乘以阶数k,等于k。此例中的k个初始资讯不是变数x在不同时间下的值,而是在初始时间下的x数值,以及前k – 1阶微分的数值。初始条件不会影响系统特性,此系统的特征方程式为 ,其解为特征值 ,可以用在以下解的方程式中

 

其中的常数 可以以此方程来求解k个微分方程后,考虑初始条件的结果来求得。

非线性系统

非线性系统特性上的变化会比线性系统要多,因着初始条件的不同,系统可能会发散到无限大,也可能会收敛到系统的吸引子中。每个吸引子(是指一些状态变数进入此区域后,就不会离开的区域)会有一个(可能不连续的)吸引区域(basin of attraction),若初始条件在此区域内,最后就会往吸引子前进。就算初始条件有少量变化,也有可能会由某一吸收子的吸引区域,进到另一吸收子的吸引区域,像牛顿法在一些情形下就有这类对初始条件很灵敏的特性。

若是有混沌理论的非线性系统,变数的变化会出现蝴蝶效应:同一个奇异吸引子内两个很邻近的点,在随时间变化后,仍在奇异吸引子内,但两点的轨迹会随时间慢慢发散。因此在单一的奇异吸引子上,其初始条件的精确值会造成后续轨迹的显著差异。因此很难进行准确的仿真,若要长时间的仿真更是不可能,因为很少有机会可以让初始条件的数值完全精准,就算初始条件可以完全精准,在几次迭代后就会出现舍入误差。

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参考资料

  1. ^ Baumol, William J. Economic Dynamics: An Introduction  3rd. London: Collier-Macmillan. 1970. ISBN 0-02-306660-1.