初等阿贝尔群

群论中,初等阿贝尔群是有限阿贝尔群,这里的所有非平凡元素都有 p 阶而 p 是素数。

通过有限生成阿贝尔群的分类,所有初等阿贝尔群必定有如下形式

(Z/pZ)n

对于非负整数 n。这里的 Z/pZ 指示 p 阶的循环群(或等价的整数模以 p),而幂符号表示意味着 n 元笛卡尔积。

例子和形式

  • 初等阿贝尔群 (Z/2Z)2 有四个元素: { [0,0], [0,1], [1,0], [1,1] }。加法是逐分量进行,结果要模以 2。例如,[1,0] + [1,1] = [0,1]。
  • (Z/pZ)nn 个元素生成,而 n 是最小的可能的生成元数目。特别是集合 {e1, ..., en} 这里的 ei 在第 i 个分量中为 1 而在其他地方为 0 是极小生成集合。
(Z/pZ)n   < e1, ..., en | eip = 1, eiej = ejei >

向量空间结构

假设 V = (Z/pZ)n 是初等阿贝尔群。因为 Z/pZ   Fp,即 p 个元素的有限域,我们有 V = (Z/pZ)n   Fpn,所以 V 可以被认为是在域 Fp 上的 n-维向量空间

机警的读者可能发现 Fpn 有比群 V 更大的结构,特别是它除了(向量/群)加法之外还有标量乘法。但是 V 作为阿贝尔群有唯一一个 Z-结构,这里的 Z作用对应于重复的加法,而这个 Z-模结构一致于 Fp 标量乘法。就是说,c·g = g + g + ... + g (c 次) 这里的 cFp 中(考虑为整数带有 0 ≤ c < p) 给予 V 一个自然的 Fp-模结构。

自同构群

作为向量空间 V 有如例子中那样的 {e1, ..., en}。如果我们选取 {v1, ..., vn} 为任何 Vn 个元素,则通过线性代数我们有映射 T(ei) = vi 唯一扩张为 V 的线性变换。每个这种 T 都可以被认为是从 VV群同态(自同态)并同 V 的任何自同态一样可以被认为是 V 作为向量空间的线性变换。

如果我们限制注意力于 V自同构,我们有 Aut(V) = { T : V -> V | ker T = 0 } = GLn(Fp),即在 Fp 上的 n ×n 可逆矩阵的一般线性群