单位矩阵

在线性代数中，$n$阶单位矩阵，是一个$n\times n$的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0。单位矩阵以$I_{n}$表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为$I$（或者$E$）。

此条目页的主题是主对角线元素为1、其余元素为0的矩阵。关于所有元素皆为1的矩阵，请见“一矩阵”。

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

一些数学书籍使用$U$和$E$（分别意为单位矩阵（unit matrix）和基本矩阵（Einheitsmatrix）），不过$I$更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有$n$阶矩阵的环的单位，以及作为由所有$n$阶可逆矩阵构成的一般线性群$GL(n)$的单位元（单位矩阵明显可逆，单位矩阵乘自己，仍是单位矩阵）。

这些$n$阶矩阵经常表示来自$n$维向量空间自己的线性变换，$I_{n}$表示恒等函数，而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵，写作：

$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)$

也可以克罗内克尔δ记法写作：

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$

性质

根据矩阵乘法的定义，单位矩阵$I_{n}$的重要性质为：

$AI_{n}=A$且$I_{n}B=B$

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数 $n$。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为$n$。