度量张量

度量张量(英语:Metric tensor)在黎曼几何里面又叫黎曼度量物理学译为度规张量,是指一用来衡量度量空间中距离,面积及角度的二阶张量

内容

当选定一个局部坐标系统 ,度量张量为二阶张量一般表示为  ,也可以用矩阵   表示,记作为Gg。而   记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。

  弧线长度定义如下,其中参数定为t,t由a到b:

 

两个切矢量的夹角  ,设矢量   ,定义为:

 

    的局部微分同胚,其诱导出的度量张量的矩阵形式  ,由以下方程计算得出:

 

  表示  雅可比矩阵,它的转置为  。著名例子有   之间从极坐标系  直角坐标   的坐标变换,在这例子里有:

 
 

这映射的雅可比矩阵为

 

所以

 

这跟微积分里极坐标的黎曼度量,  ,一致。

例子

欧几里德几何度量

二维欧几里德度量张量:

 

弧线长度转为熟悉微积分方程:

 

在其他坐标系统的欧氏度量:

极坐标系 

 

圆柱坐标系 

 

球坐标系 

 

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论): 

 

在一些习惯中,与上面相反地,时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号,故矩阵表示为:

 

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