拉克斯-米尔格拉姆定理

拉克斯-米尔格拉姆定理数学泛函分析的定理,以彼得·拉克斯阿瑟·米尔格拉姆命名。这定理可用来藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理论基础。

叙述

  •  是实希尔伯特空间,其内积记作 ,导出范数 
  •  双线性型,使得
  •  连续
 
  •  强制(有称为 -椭圆性):
 
  •   上的连续线性型

那么存在唯一的 ,使得对所有 都有 

 

而且如果 对称的,那么  中唯一的元素,使得以下泛函最小值  对所有 ,即:

 

证明

一般情形

套用里斯表示定理到连续线性型上,可知存在唯一的 ,使得 对任意 成立。

对所有 ,映射  上连续线性型,因此同样可知存在唯一的 ,使得 对任意 成立。易知算子  是一个 上连续线性自同态。由此可把 表示成如下等价形式:

 

要证明此命题,只要证得 是从  双射。首先证明它是单射,再证它是满射

 的强制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到对任何 

 

从而知对任何 

  (*)。

这证明了 是单射。

要证明满射,考虑算子  内的 

不等式(*)表示,如 柯西序列,那么  内的柯西序列。由 的完备性, 收敛至 。因 连续,得出 收敛至 

 因此为 中的子空间,由投影定理可知 

再设元素 ,从定义有 ,因此

 

故得 。所以  ,证得 是满射。

自同态 是双射,故在 内存在唯一的 使得 ,且可以由 得出。

附注

不用求出 ,有其范数的上界估计

 

其中 表示对偶空间 的范数。

对称情形

如果双线性型 对称,那么对所有 有:

 

 是命题(1)的唯一解,有

 

 的强制性有:

 

 ,从上式有 对任意 成立,因而得到 的结果。

应用

这定理是有限元法的基础。实际上,若不在 内求 ,而是在 的有限 维子空间 内求 ,那么

  • 如果 对称,以 内积  的投影。
  • 给出  ,上述问题化为求解线性方程组:
 

其中