方程求解

数学中的方程求解是指找出哪些值（可能是数、函数、集合）可以使一个方程成立，或是指出这様的解不存在。方程是两个用等号相连的数学表示式，表示式中有一个或多个未知数，未知数为自由变数，解方程就是要找出未知数要在什么情形下，才能使等式成立。更准确的说，方程求解不一定是要找出未知数的值，也有可能是将未知数以表示式来表示。方程的解是一组可以符合方程的未知数，也就是说若用方程的解来取代未知数，会使方程变为恒等式。

例如方程$x+y=2x-1$的解为$x=y+1$，因为若将方程中$x$取代为$y+1$，方程会变成恒等式$\left(y+1\right)+y=2\left(y+1\right)-1$。也可以将$y$视为未知数，解则为$y=x-1$。也可以将$x$和$y$都视为未知数，此时会有许多组的解，像是$(x,y)=\left(1,0\right)$或是$(x,y)=\left(2,1\right)$等，所有满足$(x,y)=(a+1,a)$的都是上述方程的解。

依问题的不同，方程求解可能只需要找到一组可以满足方程的解，也有可能是要找到所有的解（解集合）。有时方程会存在许多解，但要找到某种最佳解，这类的问题称为最佳化问题，找出最佳化问题的解一般不视为方程求解。

有些情形下，方程求解会需要找到解析解，也就是以解析表达式来表达的解。有些情形下，方程求解只需要找到数值解，也就是数值分析的方法求解近似值。许多方程不存在解析解，或是没有简单形式的解析解，例如五次方程以及更高次的代数方程，不存在根式解（用有限次的四则运算及根号组合而成的解析解），这是由数学家尼尔斯·阿贝尔证明的。

简介

考虑一个具一般性的例子，有一个以下的方程：

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c$,

其中$x_{1},\ldots ,x_{n}$为未知数，而$c$为常数。其解为反像集合的成员

$f^{-1}[c]=\left\{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in T_{1}\times \ldots \times T_{n}|f\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=c\right\}$

其中$T_{1},\ldots ,T_{n}$为函数$f$的定义域。注意解集合可能为空集合（没有解）、单元素集合（唯一解）、有限个元素的集合及无限多个元素的集合（有无限多的解）。

例如，以下的方程：

$3x+2y=21z$

其未知数为$x$, $y$及$z$，可以在等式二侧同减$21z$，得到以下的式子：

$3x+2y-21z=0$

以此例而言，方程不会只有唯一解，方程解的个数有无限多个，可以写为以下的集合

$\left\{\left(x,y,z\right)|3x+2y-21z=0\right\}$.

其中一个特殊解为$x=0,y=0,z=0$，而$x=3,y=6,z=1$和$x=8,y=9,z=2$也是其解。解集合描述一个三维空间中，恰好穿过上述三个点的平面。

解集合

若解集合为空集合，表示不存在$x_{i}$使得以下方程成立

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c$,

其中$c$为一特定常数。

例如考虑一个经典的单变数例子，考虑定义域为整数的平方函数$f$：

$f(x)=x^{2}$,

考虑以下方程

$f(x)=2$.

其解集合为$\left\{\right\}$，是空集合。因为2不是任何整数的平方，因此不可能找到整数可以使以上方程成立。但若修改函数的定义域，将其定义域改为所有实数，则上式有二个解，其解集合为

$\left\{{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right\}$.

有些方程的解集合可能形成一个平面或曲面。例如在学习基础数学时，有提及形式为$ax+by=c$的方程，其中$a$, $b$, 和$c$都是实数的常数，且$a$和$b$至少有一个不为零，其解集合形成向量空间$\mathbb {R} ^{2}$中的一条直线。不过有些解集合不易用图解表示，例如$ax+by+cz+dw=k$（$a$, $b$, $c$, $d$, and $k$为实数的常数）的解集合会形成超平面。

相关条目

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