最小上界性

数学中,最小上界性(亦称上确界性,英语:least-upper bound property, LUB[1]实数集和其他一些有序集的基础属性,与实数的完备性等价[2] 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集最小上界 (上确界)。

任意的有界非空实数集都有一个最小上界。

性质概述

实数

 实数集的一个非空子集。

  • 如果实数 大于或等于所有 中的元素,则 称为 上界
  • 如果实数  的上界,并且 小于或等于所有 的上界,则 称为 最小上界

最小上界性的表述为

所有具有上界的非空实数集都有最小上界,且最小上界为实数。

一般序集合

对任意偏序集合 ,我们都可以定义 的子集的上界和最小上界,只需把前一段落的“实数”改为“ 的元素”即可。

此处最小上界性的表述为

所有具有上界的 的非空子集都有最小上界 ,并满足 

有理数集并没有最小上界性,考虑其子集

 

它有在有理数集中的上界(例如2),但它的最小上界 不在有理数集中。

证明

应用

最小上界性可以用来证明许多实分析中的主要定理

中间值定理

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

极值定理

海涅-博雷尔定理

参考文献

  1. ^ Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
  2. ^ Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)