极限点(英语:Limit point)在数学中是指可以被集合S中的点[注 1]随意逼近的点。[注 2]

这个概念有益的推广了极限的概念,并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[注 3]

定义

定义 — 
 拓扑空间  的子集;若对  的某点 ,所有包含  开集也有   内的非   点,即:

 

则称   极限点limit point)。由   的所有极限点所组成的集合称为  导集derived set),通常记为 ,换句话说:

 

以上的定义来自于“总是可以找到一组  内的点去逼近  ”的粗略想法,但一般的拓扑空间的不一定有像距离这样的工具来比较“开集的大小”,若想以极限点严谨地描述“可沿着   去逼近点 ”的话,还需要对 做额外的假设。

特殊类型的极限点

定义 — 
 拓扑空间  的子集:

若包含 的所有开集都包含可数  的点,则称  ω会聚点ω‐accumulation point)。

若包含  的所有开集都包含不可数 的点,则称  缩合点condensation point)。

度量空间的聚集点

度量空间  自然的带有由度量 生成的拓扑  更仔细地说,是由以开球为元素的拓扑基所生成的拓扑,也就是 里的开集都是某群开球的联集。这样对开球定义极限点的话,就会等价于对 定义(因为属于某个开球等价于属于某开集),换句话说,对度量空间可以作如下定义:

定义 — 
 度量空间 ,且   ;若   ,且对所有  ,存在   使得   ,也就是

 

这样称   是    的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)

直观上可理解为“可以用   里的点(以度量   )无限制地逼近 ”。应用上,  定义域的聚集点也是函数极限能在   上有定义的前提条件。

度量空间中,ω会聚点与普通的极限点定义等价

性质

  • 关于极限点的性质:  的极限点,当且仅当它属于  \ { }的闭包
    • 证明:根据闭包定义,某点属于某集合的闭包,当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有:x 的极限点,当且仅当所有 的邻域都包含一个非 的点属于S,当且仅当所有 的邻域含有一个点属于 \ {x},当且仅当 属于 的闭包。
  •  的闭包具有下列性质: 的闭包等于 和其导集的并集
    • 证明:(从左到右)设 属于 的闭包。若 属于S,命题成立。若 ,则所有 的邻域都含有一个非 的点属于 ;也就是说,x 的极限点, 。(从右到左)设 属于S,则明显地所有 的邻域和 相交,所以 属于 的闭包。若 属于L(S),则所有 的邻域都含有一个非 的点属于S,所以 也属于 的闭包。得证。
  • 上述结论的推论给出了闭集的性质:集合 是闭集,当且仅当它含有所有它的极限点。
    • 证明1S是闭集,当且仅当 等于其闭包,当且仅当 = ∪ L(S),当且仅当L(S)包含于S
    • 证明2:设 是闭集,  的极限点。则 必须属于S,否则 的补集为 的开邻域,和 不相交。相反,设 包含所有它的极限点,需要证明 的补集是开集。设 属于 的补集。根据假设,x不是极限点,则存在 的开邻域U 不相交,则U 的补集中,则 的补集是开集。
  • 孤点不是任何集合的极限点。
    • 证明:若 是孤点,则{x}是只含有  的邻域。
  • 空间 离散空间,当且仅当 的子集都没有极限点。
    • 证明:若 是离散空间,则所有点都是孤点,不能是任何集合的极限点。相反,若 不是离散空间,则单元素集合{x}不是开集。那么,所有{x}的邻域都含有点yx,则  的极限点。
  • 若空间 密着拓扑,且  的多于一个元素的子集,则 的所有元素都是 的极限点。若 单元素集合,则所有 \ 的点仍然是 的极限点。
    • 说明:只要 \ {x}非空,它的闭包就是X;只有当 是空集或  的唯一元素时,它的闭包才是空集。
  •  T1空间,则    的极限点等价于   的每个邻域皆包含无限多个   的点。[注 4]

注释

  1. ^ 不包含极限点本身
  2. ^ 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近
  3. ^ 一个有关的概念是序列的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。
  4. ^ 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点,使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质,这样通常会比较轻松。

引用