数学 上,设
δ
≥
0
{\displaystyle \delta \geq 0}
为一常数,则一个度量空间
X
{\displaystyle X}
是格罗莫夫(Gromov)δ-双曲空间 ,简称δ-双曲空间 ,如果
X
{\displaystyle X}
中任意四点
p
,
x
,
y
,
z
{\displaystyle p,x,y,z}
都符合不等式
(
x
,
z
)
p
≥
min
{
(
x
,
y
)
p
,
(
y
,
z
)
p
}
−
δ
{\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta }
其中
(
x
,
y
)
p
{\displaystyle (x,y)_{p}}
是
x
,
y
{\displaystyle x,y}
对基点
p
{\displaystyle p}
的格罗莫夫积 。若δ的实际数值不重要时,也可称作格罗莫夫双曲空间 或双曲空间 。以上是米哈伊尔·格罗莫夫 的定义,因为不须用到测地线 ,故可以用于一般的度量空间。
一个测地 度量空间是格罗莫夫双曲的,当且仅当存在常数
δ
≥
0
{\displaystyle \delta \geq 0}
,使得每个测地三角形(三边都是测地线段的三角形)都是δ-瘦,即是三角形每一边上任何一点,距离另外两边其中一边少于δ。
以上的δ-瘦条件由以利亚·里普斯 (Eliyahu Rips)给出,此外又有数种等价条件[ 1] 。格罗莫夫定义中的δ未必等于里普斯条件的δ,但如果一个测地度量空间符合格罗莫夫定义中的δ-双曲性,则它符合里普斯4δ-瘦条件;反之若这空间符合里普斯δ-瘦条件,则符合格罗莫夫定义的8δ-双曲性。[ 1]
例子
树 是0-双曲空间,因为其上任何三角形都是退化的。
有限直径 的度量空间都是双曲空间。
设
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
为测地度量空间,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
是一个拟等距映射 ,如果
Y
{\displaystyle Y}
是双曲空间,那么
X
{\displaystyle X}
也是双曲空间。
若
X
{\displaystyle X}
是负曲率 的紧致 黎曼流形 ,那么其万有覆叠空间
X
~
{\displaystyle {\widetilde {X}}}
是双曲空间,而
X
{\displaystyle X}
的基本群
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
赋予字度量 后可以拟等距映射到
X
~
{\displaystyle {\widetilde {X}}}
(施瓦茨-米尔诺引理 ),所以也是双曲空间。
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
因此是双曲群 。
理想边界
设X 是一个格罗莫夫双曲空间,
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
为X 中一个序列。如果
当
i
,
j
→
∞
{\displaystyle i,j\to \infty }
时,
(
x
i
,
x
j
)
p
→
∞
{\displaystyle (x_{i},x_{j})_{p}\to \infty }
,
称
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
收敛于无穷 。其中p 是X 中某个定点,
(
x
i
,
x
j
)
p
{\displaystyle (x_{i},x_{j})_{p}}
是
x
i
,
x
j
{\displaystyle x_{i},x_{j}}
对基点p 的格罗莫夫积 。
对收敛于无穷的序列
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
定义一个等价关系 如下:
(
x
i
)
∼
(
y
i
)
{\displaystyle (x_{i})\sim (y_{i})}
,如果
当
i
,
j
→
∞
{\displaystyle i,j\to \infty }
时,
(
x
i
,
y
j
)
p
→
∞
{\displaystyle (x_{i},y_{j})_{p}\to \infty }
。
由这些等价类 构成的集合称为X 的理想边界
∂
X
{\displaystyle \partial X}
。
注意上述条件都不依赖于基点p ,因为格罗莫夫积对p 是1-利普希茨连续 的,即是若将p 换作另一点q ,则任两点的格罗莫夫积以q 为基点时的值,与以p 为基点时的值,相差不超过p 和q 的距离。
若序列
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
在等价类
a
∈
∂
X
{\displaystyle a\in \partial X}
内,那么称
x
i
→
a
{\displaystyle x_{i}\to a}
。这样就在
X
∪
∂
X
{\displaystyle X\cup \partial X}
上定义了一个拓扑 ,使得X 在
X
∪
∂
X
{\displaystyle X\cup \partial X}
内是稠密 的。
等价定义
设格罗莫夫双曲空间X 是测地 和常态 的,其理想边界有等价定义如下:
一个映射
f
:
[
0
,
∞
)
→
X
{\displaystyle f:[0,\infty )\to X}
称为拟射线 ,如果f 是一个拟等距嵌入 。对X 中的拟射线定义等价关系:两条拟射线等价,若二者的豪斯多夫距离 是有限的。那么由拟射线的等价类构成的集合是X 的理想边界。
选取X 中任何一点w 为基点。对所有从w 点出发的测地射线 ,定义如上一项所述的等价关系。则由这些测地射线的等价类构成的集合是X 的理想边界。
参见
参考
^ 1.0 1.1 É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.