盖尔范德–奈马克–西格尔构造

数学分支泛函分析中,对于给定的C*-代数 Gelfand–Naimark–Segal 构造(简称GNS构造)在一个C*-代数的循环*-表示与该C*-代数上的某类线性泛函(称为)之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃尔·盖尔范德马克·奈马克英语Mark Naimark欧文·西格尔英语Irving Segal

C*-代数的态与表示

C*-代数  希尔伯特空间   上的*-表示  *-同态   ,其中   有界算子构成的代数。换句话说,  是将   上的对合映为   上的对合的代数同态

下文提及 *-表示时,将默认讨论的是非退化的*-表示。也就是说线性生成空间   稠密子集。注意,若   有单位元,则非退化性蕴含了   的保单位元性质,即    的单位元映射到   上的恒等算子  

C*-代数   上的是范数为 1 的正线性泛函   。若   具有乘法单位元,则此条件等价于  

对于希尔伯特空间   上的C*-代数   的表示   以及   ,如果向量集

 

  中范数稠密,则   分别被称为是循环向量循环表示。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而,一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

GNS 构造

  为C*-代数   在希尔伯特空间   上的*-表示,单位向量   对于   而言是循环向量。那么   上的一个态。

反过来,通过选择一种典范的表示,   的每个态都可以被视为如上所述的向量态

定理[1] — 给定C*-代数   上的态   ,必有   在某个希尔伯特空间   上的一个*-表示   以及一个相对   而言循环的单位向量   ,使得  

 

证明
  1. 构造希尔伯特空间  

    定义   上的一个正半定半线性形式如下  

    根据柯西-施瓦茨不等式  中的退化元(也就是说即满足    )构成了   的一个子空间   。通过C*-代数式的论证,可以证明[2]    的一个左理想(即  左核)。实际上,它是   的核所含的最大的左理想。商空间   可配备内积   而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化便得到被记作   的希尔伯特空间.
  2. 构造表示  
    为定义    上的映射   ,先定义    上的映射。为此对于   ,定义算子   的行为如下:   ,其中   表示商空间中的   所属的等价类。类似前面对   是左理想的证明,可以证明[3]前述的算子   是有界的,故可以唯一地扩张  上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随的定义,   显然是保对合的,至此便证明了它是一个*-同态。
  3. 找出循环单位向量  

      有乘法单位元   ,则显然   中单位元所在的等价类就是   中相对于   而言的循环向量   。若   没有乘法单位元,可考虑  渐进单位元英语Approximate identity   。由于正线性泛函有界,   在商空间中的等价类将收敛于某个向量   ,即所要寻找的循环向量。

    根据   上内积的定义,态   显然可由上述循环表示和循环向量构造而来,于是此定理证毕。

在上述定理的证明中,根据   上的态产生*-表示的方法称为GNS构造

对于C*-代数   上的一个态,相应的GNS表示本质上由   唯一确定了。下面的定理说明了这一点:

定理[4] —    分别在希尔伯特空间   上的*-表示,相应的循环单位向量分别是   。对于   上给定的态   ,若其满足   ,则   是幺正等价的*-表示,也就是说存在一幺正算子   使得   该算子具有性质  

GNS构造的重要性

GNS构造是盖尔范德-奈马克定理证明的核心,该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态(见下文)来使得相应不可约GNS表示的直和成为忠实的。

全体态对应的GNS表示的直和称为  万有表示,其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和,因此   的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。

  是 C*-代数   的万有表示,则  弱算子拓扑中的闭包称为  包络冯诺依曼代数。它可以视为是双对偶   [需要解释]

不可约性

不可约*-表示和态所构成的凸集极点纯态)之间的关系也很重要。   上的表示   是不可约的,当且仅当   没有非平凡的在任一   下不变的闭子空间,这里所谓平凡的子空间是指  

定理 — 有单位元的C*代数   上的态构成一个弱*-拓扑意义下的紧致凸集。更普遍的是,(无论C*代数是否有单位元)范数不大于一的正线性泛函构成一紧凸集。

这些结果可由巴拿赫-阿劳格鲁定理直接得出。

作为有单位元的交换代数,对于某个紧致  上的连续函数所构成的C*-代数  里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出,范数不超过一的正泛函可视作   上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据克林-米尔曼定理英语Krein-Milman theorem,极点态则对应于狄拉克测度

另一方面,   的表示的不可约性等价于其是一维的。因此,为使   对应于测度   的GNS 表示是不可约的,须且仅须   是一极点态。事实上,这对于一般的C*-代数也成立。

定理 —   是C*-代数   在希尔伯特空间   上的*-表示,相应的循环单位向量是   ,相应的态是   。当且仅当   是范数不大于一的正线性泛函所构成之凸集的极点时,表示   是不可约的。

为证明此结果,首先须注意,一个表示是不可约的当且仅当  中心化子(记作   )由单位元的标量倍数构成。

  上任一被   控制的正线性泛函   具有形式 其中   是某个正算子,其在算子序下满足  。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。

对于这样的   ,可以将   写为如下正线性泛函的和:   。因此   幺正等价于   的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的   都幺正等价于   ,即    的标量倍数,   才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态,但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数

推广

刻画完全正映射斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。

历史

盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。[5]西格尔意识到了其工作中隐含的构造,并以更明显的形式呈现出来。

西格尔在其1947年的论文中表明,对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统,考虑 C*-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中,这意味着C*-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的,约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点,但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。[6]

参见

参考资料

 

  • William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
  • Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
  • Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
    English translation: Dixmier, Jacques. C*-algebras. North-Holland. 1982. ISBN 0-444-86391-5. 
  • Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
  • Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
  • G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily. Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics. World Scientific. 2005. ISBN 981-256-129-3. 

内联引用

  1. ^ Kadison, R. V., Theorem 4.5.2, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
  2. ^ Takesaki, Masamichi. Theory of operator algebras I. 1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 37. ISBN 978-1-4612-6188-9. 
  3. ^ Takesaki, Masamichi. Theory of operator algebras I. 1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 40. ISBN 978-1-4612-6188-9. 
  4. ^ Kadison, R. V., Proposition 4.5.3, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
  5. ^ I. M. Gelfand, M. A. Naimark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space. Matematicheskii Sbornik. 1943, 12 (2): 197–217.  (also Google Books, see pp. 3–20)
  6. ^ I. E. Segal. Irreducible representations of operator algebras (PDF). Bull. Am. Math. Soc. 1947, 53 (2): 73–88. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .