超越方程

超越方程(英语:transcendental equation)是包含超越函数方程[1],也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式,也很难求得解析解[2]

举例

以下的方程分别因为有指数函数三角函数等超越函数,因此均为超越方程。

 
 

天文学中,有关轨道偏近点角 开普勒方程也是超越方程:

 

其中:

求解方法

超越方程的求解可以利用绘图法及数值方法求解。若利用绘图法,可以分别令等式二边的式子等于另一变数(例如 ),然后在二个图绘制在一起,二个图的交点即为超越方程的解。数值方法也是以此想法往下延伸,利用数学公式求得二个图交点的位置。

若是数值很小,或是已知解在某一数值附近,也可以用泰勒级数的方式来用多项式近似超越函数,因此超越方程可用代数方程近似,再针对代数方程求解。用牛顿法也可以求超越方程的数值解。

有些特殊的函数可用来表示超越方程的解。例如复变函数朗伯W函数就可以表示一些超越方程的解。以下的超越方程

 

其解为 ,近似值为 欧米加常数)。

参照

参考文献

  1. ^ 冯有前. 数值分析. 清华大学出版社. 2005: 11. ISBN 7810824953. 
  2. ^ 姜启源. 大学数学实验. 清华大学出版社. 2005: 113. ISBN 730210140X.