鞍点(英语:Saddle point)指一个非局部极值点驻点。鞍点这词语来自于不定二次型的二维图形,像个马鞍:在x-轴方向往上曲,在y-轴方向往下曲。

的鞍点在 (0,0)

数学描述

广义而说,一个光滑函数曲线曲面超曲面)的鞍点邻域的曲线、曲面或超曲面,都位于马鞍点点的切线的不同边。

检验

检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法,是计算函数在这个点的黑塞矩阵:如果该矩阵行列式小于0,则该点就是鞍点。例如,函数 在驻点 黑塞矩阵是:

 

此矩阵有两个特征值2,-2。它的行列式小于0,因此,这个点是鞍点。然而,这个条件只是充分条件,例如,对于函数  是一个鞍点,但函数在原点的黑塞矩阵零矩阵,并不小于0。

对于一般的多元函数,点是鞍点的必要条件是该点的黑塞矩阵不定。

性质

 
 的鞍点在 (0,0),不过一维鞍点看起来并不像马鞍

在一维空间里,鞍点是驻点,也是反曲点。因为函数图形在鞍点由凸转凹,或由凹转凸,鞍点不是区域性极点

设一个只有一个变数的函数。这函数在鞍点的一次导数等于零,二次导数换正负符号·例如,函数  就有一个鞍点在原点。

 
两座山中间的鞍点(双纽线的交叉点)

设一个拥有两个以上变数的函数。它的曲面在鞍点好像一个马鞍,在某些方向往上曲,在其他方向往下曲。在一幅等高线图里,一般来说,当两个等高线圈圈相交叉的地点,就是鞍点。例如,两座山中间的山口就是一个鞍点。

参见

参考文献