数学的子学科数值分析里,B-样条样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化,可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS),使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。

De Boor算法是一个数值上稳定的计算B样条的方法。

术语 B样条Isaac Jacob Schoenberg创造的,B 是基(basis)样条的缩略。

定义

给定m+1 个节点ti ,分布在[0,1]区间,满足

 

一个nB样条是一个参数曲线

 

它由nB样条基(basis B-spline)组成

 .

Pi称为控制点de Boor点. m+1个n次B样条基可以用Cox-de Boor递归公式 定义

 
 

当节点等距,称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。

均匀B样条曲线

当B样条是均匀的时候,对于给定的n,每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是

 

满足

 

满足

 

其中

 

截断幂函数(truncated power function)

注解

当节点数和多项式次数相等时,B样条退化为贝兹曲线。即函数的形状由节点的位置决定。缩放或者平移节点向量不会改变基函数。

样条包含在它的控制点的凸包

n次B样条的一个基

 

仅当在区间[ti, ti+n+1]上非0。就是

 

换句话说,如果我们操作一个控制点,我们只改变曲线在局部的行为,而不像Bezier曲线那样是全局行为。

例子

常数B样条

常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上,而且不是节点的函数。它只是不同节点段(knot span)的指示函数

 

线性B样条

线性B样条定义在两个相邻的节点段上,在节点连续但不可微。

 

三次B样条

一个片断上的B样条的表达式可以写作:

 

其中Si是第i个B样条片断而P是一个控制点集,ik是局部控制点索引。控制点的集合会是 的集合,其中 是比重,当它增加时曲线会被拉向控制点 ,在减小时则把曲线远离该点。


片段的整个集合m-2条曲线( )由m+1个控制点( )定义,作为t上的一个B样条可以定义为

 

其中i是控制点数,t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合,这也是这个名称的原因。

有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。


B样条的程式指令

Matlab

In Matlab,the command“spline” can be used for spline interpolation.

(Note: In the command, the cubic B-spline is used)


Cubic B-Spline Interpolation by Matlab

Generating a sine-like spline curve and samples it over a finer mesh:

x = 0:1:10; % original sampling points

y = sin(x);

xx = 0:0.1:10; % new sampling points

yy = spline(x,y,xx);

plot(x,y,'o',xx,yy)

Python

事前安装模组

  • pip install numpy
  • pip install scipy
  • pip install matplotlib


Cubic B-Spline Interpolation by Python

from scipy.interpolate import interp1d

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

x = np.arange(0, 11) # original sample points, [0, 1, 2, …, 9, 10]

y = np.sin(x)

f = interp1d(x, y, kind=' cubic ') ) # Cubic means the cubic B-spline.

x_new = np.arange(0, 10.1, 0.1) # new sample points, [0, 0.1, 0.2, ….., 9.9, 10]

y_new = f(x_new)

plt.plot(x,y,'o',x_new, y_new)

plt.show()


B样条曲面

B样条曲线及曲面相关算法

关于此处涉及的算法,在著作[1]中有针对Bézier、B样条(B-spline)以及非均匀有理B样条(Nurbs)的相关算法的详细数学表达和程序实现方法。

求导

在几何处理中,对参数曲线及曲面的求导是最基本的运算之一,由于参数表达的特性,在给定点的切线及法线可通过求导直接得到。 先来考察曲线的情形:采用本页定义中的B样条曲线表达式   对参数 进行求导:  

节点插入与删除

曲线及曲面拟合

应用

参看

参考

本条目部分或全部内容出自以GFDL授权发布的《自由线上电脑词典》(FOLDOC)。

  1. ^ Les Piegl and Wayne Tiller: The NURBS Book, Springer-Verlag 1995-1997 (2nd ed).

参考文献

  • Jian-Jiun Ding, “Time Frequency Analysis and Wavelet Transforms ”, NTU, 2021.


外部链接