五複合正四面體

五複合正四面體
	; （點選檢視旋轉模型）
類別	複合正多面體; 星形二十面體
對偶多面體	五複合正四面體
識別
名稱	五複合正四面體
參考索引	UC5, W24
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	{5,3}[5{3,3}] {3,5}
性質
體	5
面	20
邊	30
頂點	20
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=20 （χ=10）
組成與佈局
複合幾何體數量	5
複合幾何體種類	5個正四面體
面的種類	20個正三角形
對稱性
對稱群	手性（英語：Chirality (mathematics)）二十面體群（英語：Icosahedral symmetry） (I)
旋轉對稱群; （英語：Rotation_groups）	手性（英語：Chirality (mathematics)）四面體群（英語：Tetrahedral symmetry） (T)
圖像
	閱; 論; 編;

在幾何學中，五複合正四面體是一種由五個正四面體組合成的幾何圖形^[3]，屬於星形二十面體^[4]，也是唯一五種正複合體之一^[5]，其索引編號為UC₅。溫尼爾在他的書中列出了許多星形多面體模型，其中也收錄了五複合正四面體，並將之給予編號W₂₄^[6]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中，編號為47^[7]，但這個多面體最早是由埃德蒙·赫斯在1876年發現並描述的。

性質

五複合正四面體為五個正四面體組合成的形狀，由於沒有頂點共用的情況，因此其邊、面和頂點的數量為正四面體的5倍，共有20個面、30條邊和20個頂點。

結構

五複合正四面體可以視為正十二面體刻面（英語：faceting）後的多面體，在正十二面體凸包中每個正四面體定位在12個頂點中的其中4個頂點。也因此，正十二面體有相同的頂點佈局（英語：Vertex arrangement）。^[8]

實體的五複合正四面體的旋轉模型

五複合正四面體可以透過將正四面體置於旋轉的二十面體群（英語：Icosahedral symmetry） (I)構造

其也可以利用20組3個凹五邊形組合起來構造，如上圖。這種凹五邊形有三種邊長，其中有兩組等長邊，較長的等長邊長度為黃金比例倒數的根號2倍，為 ${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}$ ，較短的等長邊長度為黃金比例平方的倒數，為 ${\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ ，另外一邊長度為黃金比例平方倒數的根號2倍， ${\sqrt {7-3{\sqrt {5}}}}$ 。這種方法由溫尼爾提出^[10]。

這種形狀也正是每個正四面體露出來的部分。

球面鑲嵌	透明的模型 (旋轉模型)	五個互交叉的四面體

頂點座標

由於五複合正四面體可以看作是在正十二面體中嵌入正四面體，因此其頂點座標與正十二面體相同：

(±1, ±1, ±1)、

(0, ±1ϕ, ±ϕ)、

(±1ϕ, ±ϕ, 0)、

(±ϕ, 0, ±1ϕ)。

其中ϕ = 1 + √5/2為黃金比例。

作為星形多面體

五複合正四面體是一種星形二十面體，其星狀核為正二十面體、凸包為正十二面體，在杜·瓦爾記號（英語：Patrick du Val）中以Ef₁d表示。

星狀圖（英語：Stellation diagram）	星形	星狀核	凸包
		正二十面體	正十二面體

其他的五複合正四面體

琳弦締吉（Linkshändige）的版本
雷克弦締吉（Rechtshändige）的版本

參見

參考文獻

Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

^ ^1.0 ^1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
^ Regular Polytopes (1973)^[1], p.98
^ Wang, P. Portfolio : Renderings:. 加利福尼亞理工學院計算機科學組. [2016-09-01]. （原始內容存檔於1999-09-13）. Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra.
^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
^ Regular Polytopes (1973)^[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
^ Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
^ Compound of Five Tetrahedra. 國立清華大學. [2017-02-28]. （原始內容存檔於2017-03-01）.
^ ^9.0 ^9.1 Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. ISBN 978-0906212202
^ advocated by Wenninger, 1989^[9]pp. 44
^ Cundy and Rollett, 1989^[9] pp. 139-141

外部連結

埃里克·韋斯坦因. 五複合正四面體. MathWorld.

[Regular_Polytopes_(book)-1] 1.0 ^1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8

[Coxeter_diagram-2] Regular Polytopes (1973)^[1], p.98

[5] Wang, P. Portfolio : Renderings:. 加利福尼亞理工學院計算機科學組. [2016-09-01]. （原始內容存檔於1999-09-13）. Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra.

[6] Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.

[The_five_regular_compounds-7] Regular Polytopes (1973)^[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50

[8] Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

[9] H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.

[10] Compound of Five Tetrahedra. 國立清華大學. [2017-02-28]. （原始內容存檔於2017-03-01）.

[Cundy_and_Rollett_1989-11] 9.0 ^9.1 Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. ISBN 978-0906212202

[advocated_by_Wenninger-12] vocated by Wenninger, 1989^[9]pp. 44

[Cundy_139-13] Cundy and Rollett, 1989^[9] pp. 139-141

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