伽遼金法

伽遼金方法（Galerkin method）是由俄羅斯數學家鮑里斯·格里戈里耶維奇·伽遼金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин 英文：Boris Galerkin）發明的一種數值分析方法。應用這種方法可以將求解微分方程問題（通過方程所對應泛函的變分原理）簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維（多變量）的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化，從而達到求解微分方程的目的。

伽遼金法採用微分方程對應的弱形式，其原理為通過選取有限多項試函數（又稱基函數或形函數），將它們疊加，再要求結果在求解域內及邊界上的加權積分（權函數為試函數本身）滿足原方程，便可以得到一組易於求解的線性代數方程，且自然邊界條件能夠自動滿足。

必須強調指出的是，作為加權餘量法的一種試函數選取形式，伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解（僅僅是加權平均滿足原方程，並非在每個點上都滿足）。

因為伽遼金方法的妙處在於研究它們的抽象方法，所以我們首先給出它們的抽象推導。最後我們再給出應用的例子。

常常用到伽遼金法的領域有：

• 有限元方法
• Krylov空間法

通過抽象問題的簡介

一個問題的弱形式

我們通過一個抽象問題來引入伽遼金方法，將問題表示成在一個希爾伯特空間$V$上的弱形式，也就是，求解$u\in V$使得對於所有$v\in V$

$a(u,v)=f(v)$

成立。這裡，$a(.,.)$是一個雙線性型表達式,即$a(u,v)=u^{T}av=f(v)$，$f$是一個$V$上的線性形表達式。

伽遼金離散化

選取一個n 維子空間$V_{n}\subset V$，然後求解問題在子空間中的投影：求$u_{n}\in V_{n}$使得對於所有$v_{n}\in V_{n}$

$a(u_{n},v_{n})=f(v_{n}).$

我們稱這個方程為伽遼金方程。注意方程形式沒有改變，但是求解域改變了。

伽遼金正交性

這是使得伽遼金方法非常有效的關鍵性質。因為$V_{n}\subset V$，我們可以取$v_{n}$為原方程的一個試矢量。帶入並相減，便得到誤差的伽遼金正交性關係

$a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.$

這裡$e_{n}=u-u_{n}$是真實解$u$和伽遼金方程的解$u_{h}$之間的誤差。

矩陣形式

因為伽遼金方法的目標是將問題簡化為線性方程組，我們來構造它的矩陣形式，以便利用計算機進行數值求解。

令$e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}$為$V_{n}$空間中的一組基。則顯然依次選取這些基矢量作為伽遼金方程的試矢量是充分的，也即：求解$u_{n}\in V_{n}$使得

$a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.$

用上述基矢量表示出$u_{n}$：$u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$，將其代入上面的方程得到

$a(\sum u_{j}e_{j},e_{i})=\sum u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.$

這樣我們就得到了上面這組$Au=f$型的線性方程組，式中

$a_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).$

矩陣的對稱性

由於矩陣項的定義，伽遼金方程的係數矩陣是對稱矩陣的充要條件是雙線性型表達式$a(.,.)$是對稱的。

伽遼金方法的進一步分析

這裡，我們只討論對稱雙線性型，也即

$a(u,v)=a(v,u).$

雖然伽遼金方法並不要求一定對稱，但這一限制使得標準理論的應用變得簡單的多。而且，非對稱情形的分析可能需要用到彼得羅夫－伽遼金方法。

下面我們分兩步分析上述方法。第一步，論證伽遼金方程在哈達瑪意義下是適定的，因此存在唯一解。第二步，討論伽遼金解$u_{n}$的誤差大小。

分析過程主要依據雙線性型的兩個性質：

• 有界性：對於所有$u,v\in V$，下式成立

  $a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|$

• 橢圓性：對於所有$u\in V$，下式成立

  $a(u,u)\geq c\|u\|^{2}$

根據Lax-Milgram定理（參看弱形式），這兩條性質保證了原問題的弱形式的適定性。下面章節中的所有範數都是使得上面的不等式成立的範數（這些範數通常稱為能量範數）。

伽遼金方程的適定性

因為$V_{n}\subset V$，雙線性型的有界性和橢圓性對於$V_{n}$也成立。因此，伽遼金問題的適定性實際上繼承自其原問題的適定性。

准最佳近似（Céa引理）

真實解和伽遼金解之間的誤差$e_{n}=u-u_{n}$有如下估計

$\|e_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.$

上式翻譯成文字語言就是：伽遼金解$u_{n}$的誤差（和真實解$u$的差）能控制在$V_{h}$中最優解矢量的誤差的$C/c$倍以下（在量級上）。特別有用的是，從此對誤差的估計可以只在空間$V_{n}$中進行考慮，而完全不用回到求解的方程。

證明

因為證明非常簡單，並且是各種伽遼金法的基本原理依據，因此簡單介紹如下： 根據雙線性型的橢圓性和有界性（下式中的兩個不等號），以及伽遼金法的正交性（下式中間的等號），我們對於任意$v_{n}\in V_{n}$有：

$c\|e_{n}\|^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\|e_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.$

全式除以$c\|e_{n}\|$並對所有可能的$v_{h}$取下確界得到該引理。

例子

1. 在有限元法中應用泊松方程
2. 應用到共軛梯度法

文獻

通常，伽遼金法不是文獻的單獨主題。它們和它們的應用同時討論。 因此，讀者可以參考有限元方法的教科書。

譬如

• P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978

在這個框架下的Krylov空間法的分析可以在這裡找到：

• Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003

外部連結

• 伽遼金法（英文）（Galerkin's Method）
• MathWorld對伽遼金法的介紹（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）