偽內切圓

與三角形兩邊及外接圓相切的圓

幾何學中,三角形偽內切圓[1]內切於三角形兩條邊和其外接圓的一個圓。與頂點的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點的偽內切圓」、「所對的偽內切圓」或「-偽內切圓」。

三角形內關於頂點的偽內切圓

關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。

存在性及唯一性的證明

關於點 旁切圓是唯一的。

定義 為以下兩個幾何變換複合:先以 點為圓心, 為半徑作反演變換;再關於角 的平分線作對稱變換。由於反演變換和對稱變換都為雙射且變換前後保留交點的性質, 也有對應的性質。

 點的旁切圓經 變換後的圖像為內切於  ,以及 外接圓的一個圓,即關於點 的偽內切圓。因此關於點 的偽內切圓唯一確定。類似地,關於點 及點 的偽切圓也唯一確定。[2]

其他性質

半徑

以下公式說明了三角形內切圓半徑   -偽內切圓半徑   的關係:   其中   是角 的大小[3]

與偽內切圓在三角形邊上的切點有關的性質

三角形內心 為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點  組成線段的中點[4]

  與圓  的交點分別為弧  的中點[4]

跟偽內切圓與三角形外接圓切點有關的圓

  圓內接四邊形[4]

 與圓  的交點為弧 的中點[4]

參考資料

  1. ^ 潘成華; 田開斌; 褚小光. 与曼海姆定理有关的一类几何问题. 中等數學. 2017, (4): 2–6. ISSN 1005-6416. 與三角形外接圓內切且與三角形的兩邊相切的圓稱為偽內切圓 
  2. ^ Baca, Jafet. On Mixtilinear Incircles (PDF). Mathematical Reflections. 2020, (2) [2023-01-21]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-10-23). 
  3. ^ Yui, Paul. Mixtilinear Incircles. The American Mathematical Monthly. 2018-04-23, 106 (10): 952–955 [2021-10-27]. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. (原始內容存檔於2022-10-23). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 68–69. ISBN 978-1-61444-411-4. 

參看

外部鏈結