對應域

提示：此條目頁的主題不是值域。

對應域（英語：Codomain），或稱為陪域、餘定義域、上域、終域、共變域、目標集合。

$f$是一個將所有定義域$X$(紅色區塊)中的點$x\in X$對應到點$f(x)\in Y$的函數。蒐集所有點$f(x)$的集合(黃色區塊)為函數$f$的值域，$Y$(藍色區塊)為$f$的對應域。

在數學領域中，一個函數的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號$f\colon X\rightarrow Y$中，$Y$是函數$f$的對應域。

$f$的值域是$Y$的一個子集，若$f$是一個滿射函數，則$f$的對應域和值域相等，反之則代表有$y\in Y$不存在於$f$的值域中，使得方程式$f(x)=y$無解。

例

例一

定義三個函數：

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$

$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}$

$h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}$

其中$\mathbb {R} _{0}^{+}=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$。

1. 因為$f(x)=x^{2}$，函數$f$的輸出值皆為非負數，所以$f$的值域為$\mathbb {R} _{0}^{+}$，也就是$[0,\infty )$區間。又因$\mathbb {R} _{0}^{+}\subset \mathbb {R}$，即$f$的對應域不等於值域，所以$f$不是一個滿射函數。
2. 雖然$f$和$g$函數的輸出值相同，但因為兩者的對應域不同，因此不是相同的函數。
3. 因為$f$的對應域不等於$h$的定義域，合成函數 $h\circ f$為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時，該合成函數才有效，例如$h\circ g$。

例二

定義$T$為介於兩個線性空間的線性變換：

$T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$

$T$也可以被表達成一個2×2的實數矩陣，代表一個從定義域$\mathbb {R} ^{2}$到對應域$\mathbb {R} ^{2}$的對應方式。 假設

$T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}$

則代表把所有定義域中的點$(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ 對應到對應域中的點 $(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}$。由於$T$的值域只蒐集了所有$x=y$的點，例如點$(2,3)$不在$T$的值域中，但在$T$的對應域$\mathbb {R} ^{2}$中，因此$T$不是一個滿射函數。

在此例中，2×2的矩陣在秩（rank）等於2時，為滿射函數，小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩（full rank）的依據，因為$T$的值域小於對應域，所以$T$沒有滿秩。

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