半鞅

半鞅（Semimartingale）是機率論的概念。若一隨機過程為一局部鞅和一適應的有界變差過程之和，則稱該隨機過程為一半鞅。半鞅的概念包含了眾多常用的隨機過程，擴充了伊藤積分的定義範圍，從這個意義上說，半鞅是鞅和局部鞅的擴展。

定義

一個定義在帶域流的機率空間(Ω,F,(Ft)t ≥ 0,P)的實值隨機過程 X 被稱為半鞅，若 X 有如下分解：

$X_{t}=M_{t}+A_{t}$

其中 M 為一局部鞅,而A 是一個右連左極的適應的有界變差過程。

性質

• 多個半鞅的線性組合仍然是半鞅。
• 多個半鞅的積仍然是半鞅。
• 任意半鞅的二次變差都存在。
• 若 X為一半鞅， f為二次連續可微函數，則 f(X)也是半鞅。

例子

• 凡是右連左極鞅都是半鞅，更一般地，上鞅和下鞅也都是半鞅。
• 布朗運動是連續鞅，因此也是半鞅。
• 適應並連續可微過程是有界變差過程，因此也是半鞅。
• 萊維過程並不一定都是鞅，但一定都是半鞅。

參見

• 鞅
• 局部鞅
• 布朗運動

參考文獻

• Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous Martingales and Brownian Motion 3rd, Springer, 2004, ISBN 978-3540643258