可靠性定理

可靠性定理是數理邏輯的最基本結果。它們有關於某個形式邏輯語言與這個語言的形式演繹系統的特定語義理論。可靠性定理有兩種主要變體：弱可靠性的和強可靠性的。「強」與「弱」的意義在於，強可靠性考慮句子的任意集合，而與弱可靠性有關的句子的空集是這種集合之一。大多數的演繹系統，強可靠性和弱可靠性都成立，但並非全部的演繹系統都如此。

論證可靠性

邏輯論證可靠若且唯若

論證有效。
所有前提皆已被證實為真。

弱可靠性定理

演繹系統的弱可靠性定理聲稱，在這個演繹系統中任何可證明的句子，在所有釋義或這個理論所基於的語言的語義理論的模型上為真。用符號表示，這裡的S是演繹系統，而L是語言和一起的它的語義理論，而P是L的句子：若 $\vdash _{S}P$ ，則 $\vDash _{L}P$ 。

強可靠性定理

演繹系統的強可靠性定理聲稱，演繹系統所基於的語言的任何句子P，可以從這個語言的一個句子集合Γ推導出來，則它也是這個集合Γ的語義推論，在使Γ的所有成員為真的任何模型也使P為真的意義上。用符號表示，這裡的Γ是L句子的一個集合：若 $\Gamma \vdash _{S}P$ ,則 $\Gamma \vDash _{L}P$ 。

與完備性定理的聯繫

可靠性定理的逆命題是語義完備性定理。在強形式下，它聲稱對於一個演繹系統和語義理論，是一個句子集合的語義推論的任何句子可以在這個演繹系統中從這個集合推導出來。（在一階完備性定理的情況下常叫做哥德爾完備性定理。）用符號表示：若 $\Gamma \vDash _{L}P$ ，則 $\Gamma \vdash _{S}P$ 。

非形式的，演繹系統的可靠性定理告訴我們用這個演繹系統可以推導或證明的任何東西都是你希望能夠推導或證明的東西。因此，沒有你不想推導出的東西可以被推導出來。所以，推導關於語義可以被信任。完備性告訴我們你希望能被推導或證明的所有東西都可以被推導出來。

哥德爾第一不完備定理保證對於有充分表達力的語言，可能沒有演繹系統關於經典語義是完備的，在其中所有句子是要麼為真要麼為假。因此，不是所有可靠的演繹系統都是完備的。

而可靠性一般被認為是對有價值的演繹系統根本上的最小要求。這是因為如果演繹系統是不可靠的，在這個系統中可以被推導或證明的一個句子不告訴我們關於這個句子的語義性質的任何事情。

參見

引用

Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.